Линейность смешанного произведения по каждому сомножителю

Векторное произведение векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Базис и координаты. Тройка e _1, e ₂, e ₃ некомпланарных векторов в R ³ называется базисом, а сами векторы e _1, e ₂, e ₃ - базисными. Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

а = x₁ e ₁ + x₂ e ₂ + x₃ e _3, (1.1)

числа x₁, x₂, x₃ в разложении (1.1) называются координатами вектора a в базисе e _1, e ₂, e ₃ и обозначаются a (x₁, x₂, x₃).

Ортонормированный базис. Если векторы e1,e2, e3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R ³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k }.

Векторное произведение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е.
c = |a||b| sin (a ^ b).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ ab ] или
c = a × b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ ab ] = 0, в частности, [ aa ] = 0. Векторные произведения ортов: [ ij ]= k, [ jk ] = i, [ ki ]= j.

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a (a₁, a₂, a₃), b (b₁, b₂, b₃), то

№ 20

Понятие смешанного произведения трех векторов, его геометрическая интерпретация. Линейность смешанного произведения по каждому сомножителю.

Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов а и bскалярноумножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Линейность смешанного произведения по каждому сомножителю

1. Для смешанного произведения выполняется свойство ассоциативности относительно

умножения векторов на число: (λa)bc = λ(abc).

Обозначив b×c = e и используя свойство ассоциативности скалярного произведения отно-

сительно умножения на число, получим

(λa)bc = (λa)(b×c) = (λa)e = λ(ae) = λ

a(b×c)= λ(abc). I

2. Для смешанного произведения выполняется свойство дистрибутивности (a1 + a2)bc =

= a1bc + a2bc.

Обозначив b×c = e и используя свойство дистрибутивности скалярного произведения,

получим

(a1 + a2)bc = (a1 + a2)(b×c) = (a1 + a2)e = a1e + a2e =

= a1(b×c) + a2(b×c) = a1bc + a2bc. I

Свойства 1 и 2 смешанного произведения сформулированы для первого

сомножителя. Однако при помощи циклической перестановки можно доказать аналогичные

утверждения и для второго и для третьего сомножителей, т.е. верны равенства

a(λb)c = λ(abc), ab(λc) = λ(abc),

a(b1 + b2)c = ab1c + ab2c, ab(c1 + c2) = abc1 + abc2, и в итоге имеем свойство линейности смешанного произведения по каждому сомножи-

телю.