Непрерывные случайные величины. Определение 2: Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной

Определение 2: Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого

,

где - интегрируемая по Лебегу функция. Функция называется плотностью распределения случайной величины .

Теорема 1: Для того чтобы случайная величина была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого

(1)

Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией.

Свойства плотности распределения:

1)

2) почти всюду.

3) для любых х, являющихся точками непрерывности плотности.

Теорема 2: Для того, чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности.

Примеры непрерывных случайных величин:

1) нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение). Непрерывная случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение, если её плотность распределения имеет вид

Если , то распределение называется стандартным нормальным распределением.

Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных величин. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей широко использует нормальное распределение.

2)экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение). Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное(показательное) распределение с параметром , если её плотность имеет вид

Экспоненциальному распределению подчиняется время распада ядер атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последствия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада ядра за время при условии, что перед этим оно уже прожило время , совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого ядра за время . Именно это свойство и представляет собой отсутствие последствия.

3) Равномерная на [a;b] непрерывная случайная величина(равномерное на отрезке [a;b] распределение).

Равномерно распределенная на отрезке [a;b] непрерывная случайная величина имеет плотность распределения

Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a;b].