Некоторые положения теории

Д-8 ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ

К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Некоторые положения теории

Силой инерции материальной точки называют векторную величину, направленную противоположно вектору ускорения и равную по модулю произведению массы точки m на ее ускорение:

.

Главный вектор и главный момент сил инерции относительно некоторой точки O определяются путем суммирования соответствующих сил и моментов для каждой точки системы:

,

где – сила инерции i -й материальной точки системы.

Для абсолютно твердого тела вектор и момент зависят от вида движения этого тела:

а) поступательное движение.

Необходимо указать только главный вектор сил инерции , приложенный к центру масс тела. Вектор направлен в сторону, противоположную вектору ускорения центра масс :

,

где – масса тела;

б) вращение тела относительно неподвижной оси, проходящей через центр масс тела.

Главный вектор сил инерции равен нулю. Необходимо приложить момент сил инерции, направленный противоположно угловому ускорению ε:

,

где – центральный момент инерции тела;

в) плоскопараллельное движение твердого тела.

В этом случае необходимо приложить силу инерции к центру масс тела и указать момент сил инерции M^Ф (рисунок 8.1).

Те же главный вектор и главный момент M^Ф следует учитывать для вращательно движущегося тела, если ось вращения не проходит через центр масс.

Принцип Даламбера является одним из основных принципов аналитической механики. Для материальной точки данных принцип формулируется так: геометрическая сумма сил, действующих на точку, и силы инерции равна нулю. То есть, введение силы инерции позволяет для материальной точки записать уравнения, аналогичные уравнениям равновесия. Для материальной системы принцип Даламбера формулируется так: геометрическая сумма сил, действующих на систему, и сил инерции для всех точек системы равна нулю. То есть, для материальной системы выполняются следующие условия:

, ,

где – i -я внешняя активная сила, действующая на систему;

– i -я внешняя реакция связи;

– сила инерции для i -й точки системы;

– момент силы относительно произвольной точки O.

Таким образом, принцип Даламбера позволяет свести задачу динамики к задаче статики. Если действующие на материальную систему силы и силы инерции образуют плоскую систему сил, то в соответствии с принципом Даламбера составляется 3 уравнения равновесия. Если силы образуют пространственную систему сил, то составляется 6 уравнений.

Для системы, находящейся в равновесии, выполняется принцип возможных перемещений. Аналогичное условие будет выполняться и для движущейся системы, если к ней приложить силы инерции, то есть для материальной системы выполняется соотношение

,

где – элементарная работа силы на возможном перемещении системы;

– работа силы инерции для i -й материальной точки на возможном перемещении данной точки.

Последнее уравнение называют общим уравнением динамики. Это уравнение отражает принцип Даламбера–Лагранжа: при движении материальной системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

 

Условие задания Д-8

Для механизмов, изображенных на рисунке 8.2, на основании приведенных в таблице 8.1 исходных данных определить ускорение тела 1, а также натяжение нити, прикрепленной к этому телу. В вариантах 5 и 23 плита скользит по двум каткам, а в вариантах 7 и 15 — соединена с центрами двух катков. В вариантах 19, 22 и 27 определять силу натяжения не требуется.

Таблица 8.1 – Исходные данные к заданию Д-8

Вариант

Массы тел, кг

Радиусы колес, см

f

M, Н×м

a, град

m 1

m 2

m 3

m 4

m 5

r 2

r 3

r 4

r 5

3 m

2 m

4 m

2 m

—

—

0,2

4 mgr 2

2 m

5 m

3 m

2 m

—

—

0,3

8 mgr 4

m

3 m

2 m

m

—

—

0,1

mgr 4

4 m

m

2 m

3 m

—

—

0,2

2 mgr 4

3 m

2 m

3 m

m

—

—

—

—

mgr 2

2 m

2 m

m

3 m

—

—

0,3

mgr 4

m

2 m

m

3 m

m

—

0,2

mgr 5

3 m

2 m

m

3 m

—

—

0,1

mgr 2

m

m

2 m

3 m

—

—

0,2

2 mgr 2

2 m

m

m

2 m

—

—

0,1

mgr 2

3 m

m

3 m

2 m

—

—

0,3

2 mgr 2

3 m

2 m

3 m

m

—

—

0,2

mgr 3

2 m

m

2 m

3 m

—

—

—

2 mgr 2

3 m

m

3 m

2 m

3 m

0,3

3 mgr 3

2 m

2 m

m

3 m

m

—

—

4 mgr 2

3 m

2 m

4 m

2 m

—

—

0,1

mgr 3

m

3 m

2 m

2 m

—

—

0,2

mgr 4

4 m

3 m

2 m

2 m

—

—

0,1

2 mgr 2

3 m

2 m

m

4 m

—

—

—

mgr 2

2 m

2 m

m

2 m

—

—

0,3

mgr 4

m

m

3 m

2 m

2 m

0,1

mgr 2

3 m

2 m

m

m

—

—

—

3 mgr 2

—

4 m

3 m

2 m

4 m

m

—

—

4 mgr 2

m

2 m

3 m

3 m

—

—

0,2

2 mgr 4

2 m

m

3 m

2 m

—

—

0,1

2 mgr 2

3 m

m

3 m

3 m

2 m

—

mgr 4

2 m

3 m

2 m

m

2 m

—

3 mgr 2

4 m

m

2 m

2 m

m

—

0,1

mgr 3

2 m

2 m

3 m

2 m

—

—

—

mgr 4

3 m

2 m

m

2 m

3 m

—

mgr 3

 

Рисунок 8.2 (начало)

Рисунок 8.2 (продолжение)

Рисунок 8.2 (продолжение)

Рисунок 8.2 (окончание)

 

Пример выполнения задания

Груз 1 (рисунок 8.3) скользит по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30°, и посредством невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через блок, состоящий из дисков 2 и 3, приводит в движение каток 4, заставляя его катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Массы тел 1-4 соответственно m ₁ = 3 m, m ₂ = m, m ₃ = 2 m, m ₄ = m. Радиусы колес r ₂ = 10 см, r ₃ = 30 см, r ₄ = 25 см. На тело 2 действует активная пара сил с моментом M = m ₄ gr ₄. Коэффициент трения груза 1 о наклонную плоскость f = 0,2. Каток 4 представляет собой однородный сплошной диск. Проскальзывание нити по блоку отсутствует. Определить ускорение тела 1, а также натяжение нити, прикрепленной к телу 1.

Решение

Применим к решению задачи общее уравнение динамики.

1 Изображаем механизм с учетом заданных размеров. Система имеет одну степень свободы, следовательно, одну обобщенную координату.

2 Изображаем на рисунке активные силы , , и . На систему наложены внешние связи: цилиндрический шарнир, трением в котором пренебрегаем; горизонтальная плоскость, по которой без проскальзывания катится каток 4, и шероховатая наклонная плоскость, по которой скользит груз 1.

 

Рисунок 8.3

Реакция шарнира приложена к неподвижной точке, реакция горизонтальной плоскости – к мгновенному центру скоростей. Работа этих сил на возможных перемещениях точек их приложения равна нулю. Эти связи являются идеальными. Сила трения, действующая на груз со стороны наклонной плоскости, будет совершать работу при скольжении груза. Эта связь неидеальна, поэтому к активным силам добавим силу трения. Ввиду того, что среди сил, действующих на тела системы, есть сила трения скольжения, то во всех вариантах целесообразно по исходным данным найти исходное направление движения системы, чтобы правильно показать направление сил трения. Если направление движения системы выбрано ошибочно, то искомое ускорение получится со знаком «минус». В этом случае необходимо изменить направление сил трения и сил инерции и внести поправки в решение. В данном примере груз 1 опускается, поэтому силу трения скольжения F _тр направляем в противоположную к этому движению сторону.

Модуль силы определяем по закону Кулона , где – нормальная реакция наклонной плоскости, – коэффициент трения скольжения. Поэтому .

Прикладываем к системе силы инерции. Так как груз 1 движется поступательно, то к его центру масс приложим силу инерции противоположно ускорению груза. Здесь a ₁ – ускорение центра масс груза 1. Блок, состоящий из двух жестко соединенных дисков 2 и 3, совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через его центр масс. Поэтому к нему прикладываем момент сил инерции

,

где – момент инерции блока относительно оси вращения z;

– угловое ускорение блока.

Так как блок 2, 3 состоит из двух дисков, наложенных на одну ось, то его момент инерции определяется суммированием

,

где r₂, r₃ – радиусы большего и меньшего диаметров блока соответственно.

Момент сил инерции прикладываем противоположно угловому ускорению блока ε₂.

Каток 4 совершает плоское движение, перемещаясь по горизонтали с ускорением центра масс а_С и поворачиваясь относительно точки соприкосновения с горизонтальной плоскостью (мгновенный центр скоростей (МЦС)) с угловым ускорением ε₄. Прикладываем в центре масс силу инерции , где a_C – ускорение центра масс катка 4, а также момент сил инерции . Так как каток считается однородным сплошным цилиндром радиуса r₄, то момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс катка, .

3 Сообщаем системе возможные перемещения. Пусть груз 1 переместится на расстояние вдоль наклонной плоскости, тогда блок, состоящий из жестко скрепленных дисков 2 и 3, повернется на угол , а каток 4 повернется относительно мгновенного центра скоростей на угол , а его центр масс переместится вдоль горизонтальной плоскости на расстояние .

4 Составляем общее уравнение динамики. Запишем выражение для суммы работ всех активных сил и сил инерции на возможном перемещении каждого тела системы и приравняем его к нулю:

. (8.1)

Зависимости между возможными перемещениями у системы такие же, как и между соответствующими скоростями.

5 Устанавливаем связь между возможными перемещениями. Выразим скорости центров масс и угловые скорости тел через скорость тела 1. Для этого воспользуемся методом общей точки. Рассмотри точку A, общую для тел 1 и 2 (см. рисунок 8.3). В силу нерастяжимости нитей . С другой стороны, точка A принадлежит вращательно движущемуся телу 2. Следовательно, . Тогда

.

Чтобы выразить w₄ и v_C через v ₁, рассмотрим точки B ₃и B ₄. Точка B ₃ принадлежит вращательно движущемуся телу 3. Значит . Точка B ₄ принадлежит плоско движущемуся телу 4. Мгновенный центр скоростей катящегося колеса находится в точке касания с неподвижной поверхностью P. Тогда . Следовательно,

.

Скорость точки C определяется следующим образом: . Значит,

.

Такие же соотношения будут и между линейными и угловыми возможными перемещениями системы. Выразим возможные перемещения , и через :

; ; . (8.2)

Подставим данные выражения в уравнение (8.1):

.

Используем известные соотношения для силы тяжести G ₁, силы трения F _тр, сил инерции Ф ₁ и Ф ₄, моментов сил инерции М ₁, М ₄. Тогда

. (8.3)

Выразим ускорения а_С, ε₂ и ε₄ через ускорение центра масс тела 1 a ₁. Для этого используем равенства (8.2):

; ; .

Подставим полученные соотношения в уравнение (8.3):

.

6 Решаем полученное уравнение. Из последнего уравнения выразим искомое ускорение а ₁. Для этого перенесем все слагаемые, содержащие а ₁, в правую часть равенства:

.

Ускорение центра масс тела 1 получим, подставив выражение для момента M:

.

Подставим численные значения величин, входящих в последнее уравнение:

.

Для определения натяжения нити, прикрепленной к телу 1, используем принцип Даламбера–Лагранжа. Заменим действие нити на груз реакцией Т ₁. Расставим все силы, действующие на тело 1 (рисунок 8.4). Это сила тяжести , нормальная реакция поверхности , сила трения , сила натяжения нити и сила инерции .

Используем принцип Даламбера–Лагранжа:

. (8.4)

Возможное перемещение точки приложения сил , , , составляет d s ₁ и направлено параллельно наклонной плоскости. Тогда выражение (8.4) примет вид

.

Сокращая на возможное перемещение и используя ранее полученные соотношения для силы трения и силы инерции, окончательно получим: