Замена переменной в определенном интеграле

Общая схема исследования функции и построения ее графика

· Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

· Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

· Найти точки пересечения с осями координат

· Установить, является ли функция чётной или нечётной.

· Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

· Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

· Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

· Найти наклонные асимптоты функции.

· Построить график функции.

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале X =(a, b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f (x) является производной для F (x), т.е.

Множество первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Методы интегрирования-

1)-метод непосредственного интегрирования- метод, при котором путем тождественных преобразований подъинтегральные функции интегралов приводится к табличному виду

2)- метод интегрирования подстановкой- суть данного метода состоит в том, что в подъинтегральном выражения переходят к новой переменной интегрирования, позволяющие вычислить данный интеграл, а затем возвращаются к прежней переменной

3)- метод интегрирования по частям-(ребят, не нашла….херня какая-то в нете написана..посмотрите в лекциях)

 

 

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

где

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[ a, b ], то

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0 x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Рис.1		Рис.2

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [ a, b ], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

Замена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g ^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g ^-1(x).