Некоторые положения теории

Д-5 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Некоторые положения теории

Количеством движения материальной системы называют векторную величину, равную геометрической сумме количеств движения всех точек системы,

где m_i, v_i – масса и скорость i -й материальной точки соответственно. Количество движения системы можно найти так же, как произведение массы системы на скорость ее центра масс:

Для материальной системы выполняется теорема об изменении количества движения. Данная теорема в дифференциальной форме формулируется так: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил

Теорема об изменении количества движения системы имеет также интегральную форму: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени t₁ равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени,

где – импульс внешней силы за промежуток времени t ₁,

Главным моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной системы относительно данного центра O называют векторную величину, равную геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра,

где – радиус-вектор i -й точки.

Смысл теоремы об изменении кинетического момента материальной системы состоит в следующем: производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторого центра равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра

где – вектор момента внешней силы относительно центра O,

где – радиус-вектор точки приложения внешней силы .

Кинетическая энергия материальной системы, состоящей из n точек, определяется в результате суммирования их кинетических энергий:

Поскольку при поступательном движении скорости всех точек одинаковы, то кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела равна половине произведения массы тела m на квадрат скорости v любой его точки:

При вращательном движении кинетическую энергию тела можно рассчитать по формуле

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения;

w – угловая скорость.

Плоскопараллельное движение можно представить как комбинацию поступательного движения вместе с центром масс и вращения вокруг центра масс. Поэтому кинетическую энергию плоскопараллельно движущегося тела можно записать в виде

где v_C – скорость центра масс тела;

J_C – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Кинетическая энергия системы, состоящей из нескольких тел, определяется суммированием их кинетических энергий:

Для материальной системы справедлива теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной системы на перемещении из начального положения в конечное равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на эту систему,

где – кинетическая энергия системы в начальном и конечном поло-

жениях соответственно;

– суммы работ внешних сил и моментов;

– суммы работ внутренних сил и моментов.

Сумма работ внутренних сил не равна нулю, если в процессе движения системы изменяются расстояния между ее взаимодействующими точками. Следовательно, сумма работ внутренних сил, действующих в твердом теле равна нулю. Сумма работ внутренних сил также равна нулю в системе, состоящей из твердых тел и нерастяжимых связей.

Условие задания Д-5

На основании исходных данных, приведенных в таблице 5.1, определить зависимость скорости тела 1 (рисунок 5.1) от пройденного пути s. Массы тел 1, 2, 3, 4 равны соответственно m ₁, m ₂, m ₃, m ₄, а радиусы – r ₁, r ₂, r ₃, r ₄. В вариантах 2 и 20 m ₅ = m. Массы непронумерованных тел не учитывать. Коэффициент трения скольжения тел по наклонной плоскости равен f. К вращающимся телам приложены либо вращающие моменты M _вр, либо моменты сопротивления M _c. Шкивы и катки считать сплошными однородными цилиндрами. В начальный момент система находилась в покое.

Таблица 5.1 – Исходные данные к заданию Д-5

Вариант	Массы тел	Радиусы валов, см	Моменты, Н×м	f	a, град
m ₁	m ₂	m ₃	m ₄	r ₂	r ₃	r ₄	M _вр	M _c
	3 m	3 m	m	—			—	—	mgr ₂	0,1
	2 m	2 m	m	2 m				5 mgr ₂	—	0,3
	5 m	m	2 m	m				—	mgr ₄	—
	4 m	m	3 m	m			—	mgr ₃	—	0,1
	3 m	2 m	m	2 m				2 mgr ₂	—	—	—
	5 m	m	m	2 m				—	mgr ₄	0,2

Окончание таблицы 5.1

Вариант	Массы тел	Радиусы валов, см	Моменты, Н×м	f	a, град
m ₁	m ₂	m ₃	m ₄	r ₂	r ₃	r ₄	M _вр	M _c
	5 m	m	2 m	m				—	2 mgr ₄	0,1
	2 m	3 m	m	m				—	mgr ₄	—	—
	3 m	m	2 m	2 m				mgr ₃	mgr ₄	—
	6 m	m	2 m	3 m				—	mgr ₄	0,3
	2 m	3 m	2 m	4 m				—	mgr ₄	0,1
	3 m	m	m	2 m				—	mgr ₃	—	—
	4 m	2 m	3 m	2 m				—	2 mgr ₄	0,2
	5 m	m	2 m	2 m				2 mgr ₃	mgr ₄	—	—
	6 m	m	3 m	2 m				4 mgr ₂	—	0,1
	2 m	4 m	2 m	m				—	2 mgr ₄	—	—
	3 m	2 m	3 m	m				—	mgr ₄	0,3
	4 m	m	3 m	2 m				mgr ₃	—	0,2
	2 m	2 m	2 m	3 m				3 mgr ₂	—	—	—
	4 m	2 m	3 m	2 m				—	mgr ₄	—	—
	6 m	2 m	2 m	m				—	mgr ₃	—
	M	3 m	2 m	2 m				—	2 mgr ₄	—	—
	3 m	3 m	4 m	2 m				—	mgr ₄	—	—
	4 m	m	2 m	3 m				—	mgr ₄	0,2
	2 m	3 m	4 m	2 m				—	mgr ₄	—	—
	3 m	m	2 m	5 m				mgr ₃	—	0,4
	6 m	2 m	m	3 m				—	2 mgr ₃	0,1
	5 m	m	2 m	m			—	mgr ₂	—	0,2
	4 m	3 m	2 m	3 m			—	—	mgr ₂	0,3
	6 m	m	2 m	2 m				—	mgr ₄	—

Рисунок 5.1 (начало)

Рисунок 5.1 (продолжение)

Рисунок 5.1 (окончание)

Пример выполнения задания

Определить зависимость скорости тела 1 (рисунок 5.2) от пройденного пути s, если массы тел: m ₁ = 4 m, m ₂ = 3 m, m ₃ = 2 m, m ₄ = 2 m, m ₅ = m, а радиусы: r ₂ = 0,5 м; r ₃ = 0,4 м; r ₄ = 0,4 м; r ₅ = 0,2 м. Тела 2 – 5 являются однородными дисками. Коэффициент трения скольжения тела 1 по наклонной плоскости f = 0,2. Углы . К телу 2 приложен вращающий момент M _вр = mgr ₂. На тело 4 действует момент сил сопротивления M _c = 2 mgr ₅. В начальный момент система находилась в покое.

Решение

1 Изображаем исследуемую систему (см. рисунок 5.2) и определяем кинетическую энергию в начальном положении. По условию задачи в начальном положении система находилась в покое, т. е.

. (5.1)

Рисунок 5.2

2 Определяем конечное положение системы. Из схемы видно, что соотношения между скоростями точек системы не изменяются в процессе ее движения, поэтому изображение конечного положения системы не требуется.

3 Определяем кинетическую энергию системы в конечном положении. Так как система состоит из пяти тел, то

где T_i – кинетическая энергия i -го тела (i = 1,.., 5).

Определим кинетические энергии каждого тела системы в конечном положении, т. е. в тот момент, когда тело 1 будет иметь скорость v ₁.

Тело 1 движется поступательно. Следовательно,

Тело 2 движется вращательно:

где J ₂ – момент инерции тела 2 относительно оси, проходящей через центр

масс (точку O);

w₂ – угловая скорость тела 2.

Тело 2 является однородным диском с масссой m ₂ и радиусом r ₂, поэтому . Угловая скорость w₂ связана со скоростью первого тела. Для определения этой связи воспользуемся методом общей точки. Для тел 1 и 2 общей является точка A (см. рисунок 5.2). В силу нерастяжимости нитей скорость точки A совпадает со скоростями всех точек поступательно движущегося тела 1, . Так как точка A принадлежит вращательно движущемуся телу 2, то . Значит,

. (5.2)

Подставляем полученные выражения в формулу для кинетической энергии второго тела

Тело 3 движется вращательно:

Так как тело 3 – однородный диск с массой m ₃ и радиусом r ₃, то . Тела 2 и 3 жестко связаны между собой. Следовательно, их угловые скорости будут одинаковы: . Тогда для кинетической энергии тела 3 можно записать

Тело 4 движется плоскопараллельно. Его кинетическая энергия

где v_C – скорость центра масс тела 4 (см. рисунок 5.2);

J ₄ – момент инерции тела 4 относительно центра масс.

Так как это тело является однородным диском с массой m ₄ и радиусом r ₄, то . Поскольку тело 4 движется плоскопараллельно, то скорость его центра масс v_C равна произведению угловой скорости w₄ на длину отрезка, соединяющего точку C с мгновенным центром скоростей P, .

Плоскопараллельно движущиеся тела 4 и 5 жестко связаны. Следовательно, их мгновенные центры скоростей (МЦС) будут совпадать. МЦС тела 5, катящегося без проскальзывания по неподвижной поверхности, находится в точке касания с поверхностью (см. рисунок 5.2). Тогда CP = r ₅ и

. (5.3)

Для кинетической энергии тела 4 запишем

Угловую скорость w₄ можно выразить через угловую скорость тела 3. Для этого рассмотрим точки B ₃ и B ₄ (см. рисунок 5.2). В силу нерастяжимости нитей скорости этих точек равны, т.е. . Точка B ₃ принадлежит вращательно движущемуся телу 3. Следовательно, . Точка B ₄ принадлежит телу 4, движущемуся плоскопараллельно, . Следовательно,

Используем ранее установленную связь угловой скорости w₃ со скоростью первого тела. Тогда

. (5.4)

Подставляем данное выражение в формулу для кинетической энергии

4-го тела

Тело 5 движется плоскопараллельно:

где v_C – скорость центра масс тела 5;

J ₅ – момент инерции тела 5 относительно центра масс, .

Мгновенный центр скоростей тела 5 расположен в точке P. Следовательно, . Тогда

Так как тела 4 и 5 жестко соединены, то их угловые скорости будут равны между собой:

Тогда

Суммируя полученные выражения для кинетических энергий тел системы в конечном положении, получаем

Подставляем известные численные значения радиусов и производим вычисления:

(5.5)

4 Определяем сумму работ внутренних и внешних сил, действующих на систему. Так как система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями, то сумма работ внутренних сил

. (5.6)

На систему действуют следующие внешние силы: силы тяжести ; сила трения скольжения ; сила сцепления колеса 5 с поверхностью ; нормальные реакции ; компоненты реакции цилиндрического шарнира ; пары сил с моментами M _вр и M _c. Значит,

Так как сила нормальной реакции направлена перпендикулярно смещению точки своего приложения, то работа этой силы . Силы приложены к неподвижной точке O. Следовательно, эти силы не совершают работы при движении системы . Так как сила сцепления и нормальная реакция приложены к мгновенному центру скоростей тела 5, то работы этих сил равны нулю . Таким образом, для суммы работ внешних сил можно записать

Работа силы тяжести определяется следующим образом: . Здесь h ₁ – изменение вертикальной координаты центра масс первого тела. Если тело 1 прошло по наклонной плоскости путь s, то . Тогда

Сила трения скольжения направлена противоположно вектору смещения точки своего приложения. Следовательно,

В соответствии с законом Кулона для силы трения скольжения . Для определения нормальной реакции N ₁ спроецируем все силы, действующие на тело 1, на ось (рисунок 5.3):

Так как тело 1 движется вдоль наклонной плоскости, то проекции ускорений его точек на ось равны нулю. Следовательно, .

Таким образом, . Значит . Тогда для работы силы трения получаем

Работа пары сил с моментом M _вр, действующих на вращательно движущееся тело 2,

Здесь j₂ – угол, на который повернется тело 2, если тело 1 пройдет путь s. Смещения звеньев механизма связаны между собой так же, как и соответствующие им скорости. Значит, воспользовавшись соотношением (5.2), можно определить связь между величинами j₂ и s: . Тогда

Сила тяжести приложена к центру масс тела 4 – точке C. Для работы этой силы можно записать

где h_C — изменение вертикальной координаты точки C.

При движении системы точка C поднимается, т. е. движется против действия силы тяжести. В связи с этим работа силы тяжести отрицательна. Если центр масс тела 4 прошел по наклонной плоскости путь s_C, то . Для установления зависимости s_C от перемещения s определяем связь между скоростями v_C и v ₁. Воспользовавшись соотношениями (5.3) и (5.4), можно записать . Следо- вательно, . Тогда для работы силы тяжести запишем

Так как сила тяжести приложена к точке C, то

Работу пары сил с моментом M _с определяем по углу поворота j₄ тела 4

Здесь учтено, что M _с – момент сопротивления и направлен противоположно направлению вращения тела 4. Следовательно, работа момента будет отрицательной.

Связь угла поворота j₄ со смещением s можно определить, воспользовавшись соотношением (5.2),

Тогда

Просуммируем работы внешних сил

Используем выражения для моментов пар сил и масс тел

После подстановки известных численных значений радиусов и углов получаем

(5.7)

5 Подставляем полученные выражения для кинетических энергий и работ в формулировку теоремы об изменении кинетической энергии системы. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы записывается следующим образом:

После подстановки ранее выведенных соотношений (5.1), (5.5) – (5.7) получим

Из последнего равенства выражаем искомую скорость