Пример выполнения задачи контрольной работы

Исходные данные: законы изменения координат точки, м:

; .

Определить: траекторию точки; положение, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории, соответствующие моменту времени =1 c.

Решение

1 Определяем уравнение траектории точки. Для этого исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку в заданных выражениях время является аргументом функций синус и косинус, то воспользуемся известным тригонометрическим тождеством

.

В рассматриваемом случае

; .

Поскольку здесь , то

.

Следовательно ; .

Окончательно находим (1.3)

Таким образом, получено уравнение параболы. Так как , то движение точки происходит не по всей параболе, а по ее участку . Для построения траектории составим таблицу значений координат x и y, рассчитанных на основе формулы (1.3) (таблица 2).

Таблица 2 – Координаты точек траектории, см

y	–1
x		–0,5	–1	–0,5

На рисунке 1.4 траектория точки показана сплошной основной линией.

Замечание: для дальнейших построений необходимо, чтобы масштабы по осям были одинаковыми.

Рисунок 1.4

2 Определяем координаты движущейся точки М, соответствующие моменту времени t ₁. Подставляя значение t ₁ в заданные уравнения движения, находим:

м; м.

Изображаем на траектории точку М ₁ с полученными координатами.

Замечание: здесь и далее при расчетах численных значений величин аргумент тригонометрических функций следует подставлять в радианах.

3 Определяем линейную скорость точки. Для этого вначале находим законы изменения осевых проекций скорости:

;

.

Тогда скорость точки

.

В момент времени с получаем:

м/с; м/с;

м/с.

В соответствии с результатами расчетов на рисунке изображаем вектор скорости. Для этого в выбранном масштабе, например, в 1 см – 1 см/с, из точки М ₁ откладываем составляющие вектора скорости и . Затем путем сложения составляющих получаем вектор скорости . При правильных расчетах и построениях этот вектор должен лежать на касательной к траектории движения, что и получилось на рисунке 1.4.

Замечание: масштаб для построения векторов следует подобрать так, чтобы длина вектора была не менее 2 см.

4 Строим график функции v = f (t). Он изображен на рисунке 1.5. На участке от начала движения до момента времени t = 0,63 с скорость точки увеличивается, следовательно, в этот промежуток времени движение точки ускоренное, а на интервале от t = 0,63 с до t = 1,57 с скорость уменьшается, значит на нем движение точки замедленное. Далее происходит чередование этих видов движения.

Рисунок 1.5

5 Определяем линейное ускорение точки. Для этого находим осевые составляющие ускорения:

.

В момент времени с

м/с²; м/с².

Линейное ускорение точки найдем по формуле :

м/с².

Векторы изображаем на рисунке, придерживаясь нового масштаба, например в 1 см – 2 м/с².

6 Вычисляем проекции линейного ускорения точки на естественные оси координат. Зависимость касательного ускорения от времени имеет вид:

.

Теперь определяем касательное ускорение, соответствующее моменту времени :

.

Знак «минус», получившийся при расчете, показывает, что в рассматриваемый момент времени движение точки является замедленным.

Поскольку , то нормальное ускорение

м/с².

Изображаем на рисунке векторы касательного и нормального ускорений в том же масштабе, в котором ранее изображались векторы ускорений (в 1 см – 2 м/с²). Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории движения. Поскольку в нашей задаче касательное ускорение получилось отрицательным, то оно направлено в сторону, противоположную направлению вектора скорости. Нормальное ускорение направлено перпендикулярно касательному к центру кривизны траектории. Векторная сумма касательного и нормального ускорений оказалась равна вектору полного ускорения, полученного через осевые проекции. Этот факт подтверждает правильность расчетов.

7 Определим радиус кривизны траектории в точке . Для этого используем формулу . Из нее получаем

.

Из описания решения следует, что построение графика с нанесением векторов скоростей и ускорений позволяет проверить правильность аналитических расчетов. При этом должны выполняться следующие условия:

– точка с координатами , должна попасть на изображенную траекторию;

– вектор скорости , построенный как диагональ прямоугольника со сторонами и , должен быть направлен вдоль касательной к траектории в точке с координатами , ;

– векторы ускорений, полученные как диагонали прямоугольников со сторонами , и , , должны совпасть.

Условие задания К-1