Вопрос №11
Графическое изображение вариационных рядов
Графическое изображение зависимости между величинами дает возможность представить эту зависимость наглядно. Графики могут служить основой для открытия новых свойств, соотношений и закономерностей.
Наиболее употребительными графиками для изображения вариационных рядов, т. е. соотношений между значениями признака и соответствующими частотами или относительными частотами, являются полигон, гистограмма и кумулята.
Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот. Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Крайнюю "левую" точку соединяют с точкой оси абсцисс, абсцисса которой находится слева от рассматриваемой точки на таком же расстоянии, как абсцисса ближайшей справа точки. Аналогично крайнюю "правую" точку также соединяют с точкой оси абсцисс.
Пример построения полигона
Учебные достижения учащихся некоторого класса по математике характеризуются данными, представленными в таблице.
| Количество баллов x | ||||||||||||
| Число учащихся n |
Построить полигон частот.
Решение.
Строим точки основываясь на данных из таблицы. Полученные точки соединяем отрезками прямой. Обратите внимание на точки (0; 0) и (13; 0), расположенные на оси абсцисс и имеющие своими абсциссами числа, на 1 меньшее и большее, чем соответственно абсциссы самой левой и самой правой точек. Полигон частот изображен на рисунке.
Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов. Крайние левую и правую точки соединяют с точками оси абсцисс - серединами ближайших интервалов, частоты которых равны нулю. Конечно, в этом случае полигон лишь приближенно отображает зависимость частот от значений аргумента.
Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.
Пример построения кумуляты
По данным таблицы составить кумулятивный вариационный ряд, для которого построить кумуляту.
| Количество баллов x | ||||||||||||
| Число учащихся n |
Решение. Cоставим кумулятивный вариационный ряд (см. таблицу ниже), для которого построим кумуляту.
| Количество баллов | ||||||||||||
| Частота | ||||||||||||
| Накопленная частота n |
Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда с равными интервалами, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.
В результате получают ступенчатую фигуру в виде сдвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональны частотам (или относительным частотам).
Пример построения гистограммы
Данные, приведенные в предыдущем примере представим более подробно (см. таблицу ниже.). Построить гистограмму.
| Доступность задания x, % | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 |
| Количество задач n | ||||||
| Доступность задания x, % | 60-65 | 65-70 | 70-75 | 75-80 | 80-85 | 85-90 |
| Количество задач n |
Решение:
Далее на рисунке построена гистограмма по этим данным. Получено изображение более подробной информации о распределении данных.
\
Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Термин «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к прерывным величинам; для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна. На рис. А и Б показана мода соответственно для прерывной и непрерывной случайных величин.
Часто применяется еще одна характеристика положения – так называемая медиана случайной величины. Этой характеристикой пользуются обычно только для непрерывных случайных величин, хотя формально можно её определить и для прерывной величины. Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
Если все значения признака выборки различны, то 
Если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то 
Вопрос №12
В прямых измерениях физическая величина измеряется непосредственно (например, измерение длины предмета линейкой, штангенциркулем или микрометром, силы тока – амперметром и т.д.).
При косвенных измерениях искомая величина не измеряется, а вычисляется по результатам измерений других величин (например, измеряя силу тока и напряжение на зажимах электроплитки, можно вычислить ее тепловую мощность и сопротивление).
В физическом эксперименте любое измерение (прямое или косвенное) дает лишь приблизительное значение данной физической величины. Действительно, при измерении длины полученный результат будет зависеть, по крайней мере: 1) от точности выбранного нами прибора (штангенциркуль, например, позволяет измерять с точностью до 0,1 мм, а линейка до 1 мм); 2) от внешних условий: температуры, деформации, влажности и т.д.
Разумеется, результаты косвенных измерений, вычисленные по приближенным результатам, полученным в прямых измерениях, также будут приближенными. Поэтому вместе с результатом всегда необходимо указывать его точность, называемую абсолютной погрешностью результата Δ.
Пример: L = (427,1 ± 0,2) мм
Учитывая, что в учебных лабораториях кафедры общей физики число измерений не превышает 20, абсолютная погрешность результата Δ должна после округления содержать лишь одну значащую цифру, если эта цифра не 1, если же 1, то следует оставить в погрешности две значащих цифры.
Значащими цифрами в десятичном изображении числа считаются все цифры, кроме нулей впереди числа
Абсолютная погрешность Δ имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. Измеряемая величина округляется таким образом, чтобы ее последняя значащая цифра (цифра наименьшего разряда) соответствовала по порядку величины последней значащей цифре погрешности.
§ Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов
§ Приборная погрешность - это точность, с которой прибор может произвести измерение.
§ Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.
Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. С.о. устраняют либо с помощью поправок или «улучшением» эксперимента.
§ Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
§ Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора или если произошло замыкание в электрической цепи).
Надо отметить, что деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определненных условиях может носить характер как случайной так и систематической ошибки
Вопрос №13
Приборные погрешности
Возникновение приборных погрешностей обусловлено свойствами используемых измерительных приборов. Погрешность каждого конкретного прибора является систематической. В паспорте прибора принято указывать предел допустимой погрешности , означающий максимально возможную погрешность при рекомендованных условиях работы прибора. Если бы приборная погрешность была распределена по нормальному закону, то из такого определения следовало бы, что распределение характеризуется средним квадратичным отклонением приб = 
.
Для электроизмерительных стрелочных приборов принято указывать класс точности. Это число дает максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора.
Если класс точности используемого прибора неизвестен, за погрешность приб всегда принимают половину цены его наименьшего деления.
Предел допустимой погрешности цифрового измерительного прибора рассчитывают по паспортным данным, содержащим формулу для расчета погрешности именно данного прибора. При отсутствии паспорта за оценку погрешности приб принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора.
На шкале почти всех измерительных приборов указан класс их точности. Например, 0,5 означает, что показания прибора правильны с точностью 0,5 % от всей действующей шкалы прибора. Если вольтметр имеет шкалу до 150 В и класс точности 0,5, то систематическая абсолютная погрешность измерения этим прибором равна:
Когда класс точности прибора не указан (например, штангенциркуль, микрометр, линейка), то можно использовать другой способ. Он заключается в использовании цены одного деления прибора. Ценой деления прибора называют такое изменение физической величины, которое происходит при перемещении стрелки прибора на одно деление шкалы.
5.2. Оценка случайной погрешности
Теперь надо ответить на вопрос: чему равна случайная погрешность сл полученной выше величины Хср?
В теории погрешностей показано, что в качестве оценки случайной погрешности сл среднего арифметического значения Хср следует брать так называемое среднее квадратическое отклонение , которое вычисляется по формуле:
(2)
Теория погрешностей показывает, что для большого количества измерений n30, если случайную погрешность принять равной среднему квадратическому отклонению сл=, то доверительная вероятность равна 0,68. Если в качестве оценки случайной погрешности взять удвоенное значение сл=2, то внутрь этого увеличенного интервала истинное значение будет при многократных измерениях попадать с доверительной вероятностью Р = 0,95, для интервала сл=3 вероятность Р=0,997 (рис. 2.)
В интервал 1 (см. рис. 2) истинное значение величины Х может попасть с вероятностью Р=0,68, в интервал 2 - с вероятностью Р=0,95, в интервал 3 - с вероятностью Р=0,997.
Для измерений, которые проводятся с учебными целями, достаточно в качестве оценки сл брать , для которой Р=0,68. Для научных измерений обычно используют оценку сл=2 с Р=0,95. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием эталонов или имеют значение для здоровых людей, в качестве оценки случайной погрешности берут 3, для которой Р=0,997.
В лабораторных работах можно брать в качестве оценки случайной погрешности сл величину , для которой доверительная вероятность Р=0,68.
Уравнения кривых, которые описывают распределение вероятности для выборки, для ограниченного числа измерений, впервые были предложены в 1908 году английским математиком и химиком Госсетом, который опубликовал их под псевдонимом Student (студент), откуда пошло хорошо известные термины «коэффициент Стьюдента» и аналогичные. Коэффициенты Стьюдента получены на основе обсчета этих кривых для разных степеней свободы (f = n-1) и уровней надежности (Р) и сведены в специальные таблицы.
При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:
Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.
2. Оцените точность результата косвенных измерений по формулам 
и 
, где производные вычислите при средних значениях величин.
Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ (или δ).
Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.
4. Результат измерения запишите в виде:
N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z,...) ± Δƒ.
