П4. Расчет погрешности при определении плотности твердого тела правильной геометрической формы (цилиндр).

 

Прежде чем приступить к расчета, ознакомьтесь с указанной выше литературой.

Точность измерения штангенциркуля равна 0,1 мм, погрешность 0,05 мм; микрометра 0,01 мм, погрешность 0,005 мм. Следовательно, в случае измерения штангенциркулем любые расчетные значения должны округляться до сотых долей мм, для микрометра до тысячных долей.

Для определения погрешности косвенных измерений плотности тела требуется выполнить следующие действия.

Запишем формулу для определения плотности тела: r=m/V. Объем тела, имеющего форму цилиндра, равен

V=pR²H=p(D/2)²H=pD²H/4,

поэтому

r=4m/(pD²H).

Измерьте высоту цилиндра Н с помощью микрометра или штангенциркуля пять раз (n = 5) в разных местах, и результаты занесите в таблицу. Найдите среднее арифметическое значение < Н >, выборочную исправленную дисперсию S_H² и исправленное среднеквадратичное отклонение S_H.

Вычислите погрешность прямого измерения по формуле

DH = t_a,n-1.S/Ön.

Где n – число измерений. t_a,n-1 - коэффициент Стьюдента для 5 измерений при доверительной вероятности a = 0,95 в случае двусторонней области равен 2,776. Запишите DH в таблицу.

Окончательный результат измерения Н следует записать в виде

Н = < Н > ± DH мм.

Относительная погрешность, допущенная при измерении высоты цилиндра равна:

e_Н=(∆Н/<Н>)*100%

Запишите < Н > и DH в таблицу.

Измерьте диаметр цилиндра D c помощью штангенциркуля в различных местах пять раз. Найдите <D>, S_D², S_D, определите абсолютную и относительную погрешности ∆D и e_D так же как указано выше. Результаты занесите в таблицу.

Вычислите средний объем цилиндра <V>; для этого подставьте результаты полученных измерений <Н> и <D> в формулу объема цилиндра:

<V>=p(<D>)²<H>/4

Иногда, если это делать механически, получают многозначное число (большое количество цифр после запятой) и становятся в тупик — какие цифры в этом числе являются значащими? Какова точность полученного результата? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассчитать погрешности в определении объема. Они определяют верные, сомнительные и неверные цифры этого результата. Однако, до того как рассчитывать объем и погрешности, нужно воспользоваться теорией приближенных вычислений. Правило округления: в окончательном результате нужно оставлять столько значащих цифр (в нашем случае рассматриваются цифры после запятой), сколько их есть в исходном данном с наименьшим числом значащих цифр. Поэтому, округлите полученное значение согласно данному правилу.

Рассчитайте абсолютную ∆V и относительную e_v погрешности определения объема.

где .

e_Н=(∆V/<V>)*100

Мы уже знаем, что в погрешности не следует оставлять больше двух или трех значащих цифр, поэтому все числа следует округлить до значащих цифр. Результаты занесите в таблицу.

Определите массу тела, сделав пять измерений. Вычислите среднее значение, абсолютную и относительную погрешности массы.

Определите плотность вещества, из которого изготовлен цилиндр:

<r>=<m>/<V>.

При определении погрешностей плотности, проще поступить следующим образом: первым шагом сначала найти относительную погрешность, вторым шагом рассчитать абсолютную.

Абсолютная погрешность в определении плотности вещества:

∆r = e_ρ<r>

Окончательный результат:

ρ = <r> ± ∆r

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

 

1. Внимательно прочитайте порядок обращения с аналитическими весами (п. 2).

2. Начертите 4 таблицы по образцу (согласно количеству выданных цилиндров). Для всех, выданных вам цилиндров, проделайте следующие действия.

3. Измерьте 5 раз высоту цилиндра Н, меняя положение цилиндра. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

4. Измерьте 5 раз диаметр цилиндра D, перемещая штангенциркуль или микрометр вдоль цилиндра. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

5. Измерьте 5 раз массу цилиндра m, с соблюдением требований п.2 и п. 3. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

6. Определите объем цилиндра V и плотность цилиндра r. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

7. По таблице плотностей твердых тел определите вещества, из которых изготовлены цилиндры.

8. Запишите ответы. Переведите единицы плотности в СИ. Сделайте вывод.

 

Таблица 1.

 

№

Н, мм

∆Н, мм

eН

D, мм

∆D, мм

eD

<V>,мм3

∆V, мм3

eV

m, мг

∆m, мг

em

<r>, мг/мм3

∆r, мг /мм3

er

<х>

Где <х> - среднее значение соответствующих величин.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

 

1. Дайте определения выборочной средней, выборочной исправленной дисперсии, выборочному исправленному среднеквадратичному отклонению (несмещенным оценкам).
2. Напишите выражение для нормального закона распределения и укажите его основные характеристики.
3. Напишите выражение для функции Лапласа. Для чего она применяется и каковы ее основные свойства?
4. Как определить доверительный интервал (абсолютную погрешность) и относительную погрешность при прямых измерениях?
5. Как определить доверительный интервал (абсолютную погрешность) и относительную погрешность при косвенных измерениях?
6. Почему для оценки разброса используются две величины: выборочная исправленная дисперсия и выборочное исправленное среднеквадратичное отклонение?
7. Каким образом и почему можно повысить точность измерений случайной величины?
8. Можно ли получить точность определения случайной величины меньше, чем инструментальная погрешность (погрешность измерительного прибора)?
9. Объясните, как округляют расчетные величины.
10. Объясните, как измерить размеры тела с помощью штангенциркуля (измерьте длину предложенного преподавателем предмета).
11. Как рассчитать абсолютную и относительную ошибку измерения высоты, диаметра и массы?
12. Как рассчитать абсолютную и относительную ошибку измерения плотности?
13. Расскажите устройство аналитических весов. Объясните, как проводить измерение на аналитических весах.
14. Как определить цену деления и чувствительность прибора? Чему равна цена деления штангенциркуля, аналитических весов?
15. В каких единицах измеряются абсолютная и относительная ошибки? Как перевести плотность из мг/мм³ и г/см³ в кг/м³?