Применение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрических полей. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности и объемно заряженного шара.

Поле равномерно заряженной сфериче­ской поверхности. Сферическая поверхность ра­диуса R с общим зарядом Q заряжена равно­мерно с поверхностной плотностью +0. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напря­женности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4pr² E = Q/e ₀, откуда . При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. Гра­фик зависимости E от r приведен на рис. 129. Если r'<R, то замкнутая поверхность не со­держит внутри зарядов, поэтому внутри равно­мерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E =0).

Поле объемно заряженного шара. Шаррадиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностьюr (r = dQ/dV — заряд, приходящийся на единицу объема). Учиты­вая соображения симметрии (см.п.3), можно показать, что для напряженности поля вне ша­ра получится тот же результат, что и в предыду­щем случае (см. (82.3)). Внутри же шара на­пряженность поля будет другая. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд Q' =⁴/₃pr'³r. Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), 4pr'² E = Q' /e₀=⁴/₃pr³r/e₀. Учитывая, что r=Q/(⁴/₃pR³), получим . Таким образом, напряженность ноля вне равно­мерно заряженного шара описывается форму­лой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r'.

 

 

Применение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрических полей. Электрическое поле равномерно заряженной бесконечной плоскости и поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотно­стью + s (s=dQ/dS—заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим ци­линдр, основания которого параллельны заря­женной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cosa=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую повер­хность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания E _n совпадает с Е), т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилин­дрической поверхности, равен sS. Согласно теореме Гаусса (81.2), 2ES = sS/e ₀, откуда E=s/(2ee₀). (82.1). Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разнои­менными зарядами с поверхностными плотно­стями +s и -s. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верх­ние стрелки соответствуют полю от положитель­но заряженной плоскости, нижние — от отрица­тельной плоскости. Слева и справа от плоско­стей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E =0. В области между плоскостями E = E ₊+ E _- (E ₊ и E_-определяются по формуле (82.1)), поэтому ре­зультирующая напряженность E =s/e₀. (82.2). Таким образом, результирующая напряжен­ность поля в области между плоскостями описы­вается формулой (82.2), а вне объема, ограни­ченного плоскостями, равна нулю.

 

25.26. Связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Вычисление разности потенциалов по напряжению.

Электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью и потенциалом. Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал , на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал (рис. 13.16).

Напряженность поля Е на всем малом пути dx можно считать постоянной. Тогда работа перемещения С другой стороны . Из этих уравнений получаем: .Знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала.

По известной напряженности поля будем искать разность потенциалов между двумя точками для различных случаев полей.
1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости задается формулой: E=σ/(2ε₀), где σ — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, которые лежат на расстояниях x₁ и х₂ от плоскости, равна (используем формулу E_x = -∂φ/∂x)

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей задается формулой: Е=σ/ε₀, где σ — поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между плоскостями, между которыми расстояние равно d (используем формулу E_x = -∂φ/∂x), равна
(1)
3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (r>R) задается формулой: (4πε₀)^-1(Q/r²) разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от центра сферы (r₁>R, r₂>R, r₂>r₁), равна
(2)
Если положить r₁=r и r₂=∞, то потенциал поля вне сферической поверхности, согласно формуле (2), равен выражению
Внутри сферической поверхности потенциал везде одинаков и равен
4. Поле объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q вне шара (r>R) вычисляется, как известно, по формуле E = (4πε₀)^-1(Q/r²), поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от центра шара (r₁>R, r₂>R, r₂>r₁), задается формулой (2). В любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии r' от его центра (r'<R), напряженность определяется выражением (82.4): E = (4πε₀)^-1(Qr'/r³) Значит, разность потенциалов между двумя точками, которые расположены на расстояниях r₁' и r₂' от центра шара (r₁'<R, r₁'<R, r₂'>r₁'), равна
5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R, который заряжен с линейной плотностью τ, вне цилиндра (r>R) задается формулой: E = (2πε₀)^-1(τ/r) Значит, разность потенциалов между двумя точками, которые расположены на расстояниях r₁ и r₂ от оси заряженного цилиндра (r₁>R, r₂>R, r₂>r₁), равна

 

 

27. Работа по перемещении заряда в электрическом поле. Разность потенциалов. Потенциал электрического поля. Теорема о циркуляции вектора напряжённости эл. Поля.

Вычислим работу при перемещении электрического заряда в однородном электрическом поле с напряженностью . Если перемещение заряда происходило по линии на пряженности поля на расстояние Ad = d₁-d₂ (рис. 110), то работа равна: , где d₁ и d₂ — расстояния от начальной и конечной точек до пластины В.

В механике было показано, что при перемещении между двумя точками в гравитационном поле работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела. Силы гравитационного и электростатического взаимодействия имеют одинаковую зависимость от расстояния, векторы сил направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точечные тела. Отсюда следует, что и при перемещении заряда в электрическом поле из одной точки в другую работа сил электрического поля не зависит от траектории' его движения.

При изменении направления перемещения на 180° работа сил электрического поля, как и работа силы тяжести, изменяет знак на противоположный. Если при перемещении заряда q из точки В в точку С силы электрического поля совершили работу А, то при перемещении заряда q по тому же самому пути из точки С в точку В они совершают работу — А. Но так как работа не зависит от траектории, то и при перемещении по траектории СКВ тоже совершается работа — А. Отсюда следует, что при перемещении заряда сначала из точки В в точку С, а затем из точки С в точку В, т. е. по замкнутой траектории, суммарная работа сил электростатического поля оказывается равной нулю (рие.111).

Работа сил электростатического поля при движении электрического заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Поле, работа сил которого по любой замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным полем. Гравитационное и электростатическое поля являются потенциальными полями.

 

Разность потенциалов - скалярная величина, равная отношению работы электрического поля по перемещению положительного заряда из одной точки поля в другую точку к величине этого заряда. В СИ разность потенциалов измеряется в вольтах..

Электрическое поле, создаваемое системой неподвижных электрических зарядов обладает свойством потенциальности: работа электрического поля по перемещению постоянного точечного заряда вдоль замкнутого контура равна нулю.

Теор. циркуляции: Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна Так как , то

Работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2

(1)

Не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными, а электростатические силы – консервативными. Из формулы (1) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е. (2). Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный «+» заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Edl = E₁dl, где E₁=Ecosα – проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формула (2) можно записать в следующим виде (3). Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности.

 

 

28.29 Свободные и связанные заряды в веществе. Электрический диполь. Потенциал и напряжённость электрического поля на продолжении оси диполя.

Диэлектрик – вещества, практически не проводящие электрический ток и в которые проникает электрическое поле (пластмассы, керамика, не ионизованные газы, непроводящие жидкости и т.п.)Свободные заряды имеются в любом проводнике, они могут достаточно свободно перемещаться в пределах проводника. В диэлектриках нет «свободных» зарядов, которые могли бы перемещаться по всему образцу. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, прочно связанны между собой и способны перемещаться только в пределах своей молекулы на расстояние порядка см. Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называют поляризационными или связанными. Последним термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения таких зарядов ограничена. Они могут смещаться лишь внутри электрически нейтральных молекул.

Диполь — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого вообще говоря более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего поля на такие системы

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга