Фрактальные агрегаты (кластеры) являются ярким примером процессов самоорганизации в неживой природе.

Фрактальные структуры в окружающем мире.

Цель работы: ознакомление с фрактальными структурами в физических системах и явлениях

 

Теоретический материал

 

В последние десятилетия как общественные, так и естественные науки подошли к пониманию и включению в область своих интересов вопросов саморазвития материи и социума, макродинамики процессов развития природы и общества, нелинейного характера процессов, происходящих в мире.

Термин “синергетика” (от греч. synergeia - совместное действие) был предложен в начале 70-х годов немецким физиком Г.Хакеном. Синергетика занимается вопросами самоорганизации, т.е. спонтанного образования и развития сложных упорядоченных структур в активных средах. Сам термин “активная среда” нуждается в пояснении. Активные среды - это открытые незамкнутые системы. Для активных сред характерен непрерывный, рассредоточенный приток энергии от внешнего источника и ее диссипация. Благодаря тому, что через каждый малый элемент среды протекает поток энергии, этот элемент выводится из состояния теплового равновесия и приобретает способность совершать автоколебания. Если эти элементы взаимосвязаны, образуется так называемая распределенная активная среда, в которой образуются различные стационарные, т.е не зависящие от времени, или динамические (изменяющиеся во времени) упорядоченные структуры. В этом и заключается эффект самоорганизации.

Термин “самоорганизация” может также быть определен как возникновение упорядоченных структур и форм движения из первоначально неупорядоченных, нерегулярных форм (хаоса), без специальных, упорядочивающих внешних воздействий на систему.

Второе начало термодинамики утверждает непреложное возрастание энтропии и потерю со временем информации в замкнутых системах. Возникновение же упорядоченных структур связано с ростом информации и, таким образом, с падением энтропии. (В этом случае иногда говорят о росте “отрицательной энтропии” или негэнтропии). Упорядоченное состояние менее вероятно, чем состояние термодинамического равновесия, поэтому, для того чтобы система пришла в такое “маловероятное” состояние, она или должна быть в начальный момент времени далека от состояния термодинамического равновесия, или неравновесность в ней должна все время поддерживаться внешними воздействиями. Система должна быть, таким образом, незамкнутой, открытой. Условия неравновесности и открытости являются необходимыми для возникновения процесса самоорганизации. Следует отметить, что этим условиям отвечает большой класс явлений в окружающем мире.

Классическим примером самоорганизации является возникновение жизни. Однако существуют и более простые системы, обладающие склонностью к самоорганизации, например, образование волнового рельефа песка под действием дующего ветра, возникновение шестиугольных конвективных ячеек, или ячеек Бенара в жидкости, налитой в сосуд, подогреваемый снизу, в северных сияниях, обусловленных взаимодействием электронов, направляющихся от солнца и захваченных магнитным полем Земли и электронами и ионами ионосферы.

 

Фрактальные структуры

Идеи синергетики тесно связаны также с осознанием фрактальности мира - самоподобия присущих ему структур. Фрактальность проявляется и в изломах береговых линий, и в зубцах электрокардиограммы, в формах облаков, в завитках раковин моллюсков и спиралях галактик.

Понятие «фрактал» ввел математик Б. Мандельброт. “ Почему геометрию часто называют холодной и сухой? ” -писал он в своей книге “Фрактальная геометрия природы” - Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. ”

 

Фрактал - это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Фрактальные объекты самоподобны, т.е. их вид не претерпевает существенных изменений при разглядывании их под микроскопом с любым увеличением. Разумеется, в физическом мире нет, пожалуй, ни одной реальной структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесчисленное количество раз, и которая выглядела бы при этом неизменной. Однако в приближенном виде принцип самоподобия реализуется в природе в линиях берегов морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости, и в иерархической организации живых систем, в эволюции языков и народов Земли, в смене исторических формаций.

 

 

Фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. Так, например, кучевые облака состоят из огромных “горбов”, на которых возвышаются “горбы” поменьше и т.д. вплоть до самого малого масштаба, который мы способны разрешить. Рис.1.1

 

Одним из классических примеров фрактальных объектов является береговая линия (см. рис. 1.1).

Фрактальная размерность

 

Зависимость измеренной длины береговой линии от длины шага d [км] - длины стороны d´d квадратных ячеек, образующих покрытие береговой линии на карте оказалось удобным изобразить в дважды логарифмическом масштабе, т.е. log(L(d) [км]) = f(log(d)[км]).

 

Рисунок 1.2. - Измеренная длина береговой линии, изображенной на рисунке 1, как функция шага d (км) - длины стороны d квадратных ячеек, образующих покрытие береговой линии на карте.

 

Как видно из рисунка 1.2 при уменьшении длины шага d измеренная длина отнюдь не стремится к постоянному значению, а возрастает. При этом она прекрасно описывается приближенной формулой

 

L(d) = a·d ^1-D. (1.1)

 

Для обычной кривой можно было бы ожидать, что a = L_N (по крайней мере при достаточно малых d), и показатель D равен единице. Но для береговой линии Норвегии, как видно из графика, D» 1.52. Для береговой линии Великобритании, как оказалось, показатель D» 1.3. Говорят, что береговая линия - это фрактал, или фрактальная кривая. На рисунке 1.3 подобные зависимости приведены для разных побережий.

Мы видим, что для фрактальной кривой длина не является характерной величиной. При уменьшении d она стремится к бесконечности. Площадь также не пригодна для оценки таких кривых, так как для плоской кривой в пространстве она равна нулю.

Понятия “длина”, “площадь”, “объем” связаны с понятием размерности. Так, для кривой размерность D = 1, для плоской фигуры D = 2 и т.д. И нет смысла применять к геометрическому объекту понятие несвойственной ему размерности. Таким образом, мы имеем для кривой, геометрической фигуры, геометрического тела дискретный ряд целочисленных значений, определяющих их топологическую размерность: 1, 2, 3. Фракталы как бы “не вписываются” в этот ряд. Они тоже должны иметь свою размерность, но поскольку между 1 и 2 нет промежуточных целых значений, “размерность” фрактальной кривой должна быть дробной. В качестве такой дробной размерности и принят показатель степени D в формуле (1). Таким образом, мы можем сказать, что береговая линия Норвегии - это фрактал с фрактальной размерностью D = 1.52, а береговая линия Великобритании - фрактал с размерностью D = 1.3. Именно отсюда и происходит название “фрактал” (по английски слово FRACTionAL означает “дробный”).

Фрактальные кластеры.

 

Если мы перейдем к рассмотрению реальных физических систем, то увидим, что они в отличие от математических, где мы можем устремлять величину d к нулю, обладают характерным минимальным линейным размером, таким, как радиус атома или молекулы. Однако и здесь мы встречаемся с объектами, которые, несомненно имеют фрактальную структуру. Характерным примером таких объектов служит так называемый фрактальный кластер, или фрактальный агрегат. Это система, которая имеет рыхлую, ветвистую структуру и образуется в большом наборе физических процессов, сопровождающихся ассоциацией твердых частиц близких размеров. Эти процессы, в частности, происходят при образовании гелей в растворах, при слипании частиц в дымах. Характерным свойством фрактального кластера является то, что по мере его роста плотность вещества в объеме, занимаемом кластером, падает.

Фрактальные агрегаты (кластеры) являются ярким примером процессов самоорганизации в неживой природе.

Фрактальный кластер состоит как бы из набора “склеенных” частиц, размеры которых значительно меньше размера кластера. Само слово “кластер” (от английского cluster - гвоздь) употребляется для системы большого числа связанных атомов и молекул, но в последнее время этот термин распространяется также и на системы, состоящие из большого числа связанных макроскопических частиц.

Рост фрактального кластера можно имитировать на ЭВМ. Одной из наиболее распространенных моделей роста кластеров является так называемая модель ограниченной диффузией агрегации (ОДА). В этом процессе частицы поступают из удаленного источника и диффундируют, совершая случайные блуждания. Достигнув кластера (первоначально - центра кристаллизации), частицы прилипают к нему, образуя ветвистую структуру. Это и составляет содержание лабораторной работы, котрую вы будете выполнять.

 

 

В процессе выполнения лабораторной работы вы построите фрактальный кластера с помощью компьютерной программы.

1.5

Порядок выполнения работы:

 

1) Запустите на выполнение программу построения кластера klar.exe или klar1.exe.

Внимание! В десятичных дробях после нуля следует ставить точку! Хранитель экрана должен быть выключен. Следите за числами-индикаторами в нижнем правом углу экрана: первая строчка – текущее число частиц в кластере; вторая строчка – радиус растущего кластера; кластер считается полностью построенным, когда значение радиуса достигнет 50; при этом вы услышите мелодию – это сигнал окончания построения; третья строчка – фрактальная размерность FD – ее надо занести в таблицу 1 по окончании построения.   Примечание: в некоторых случаях происходит «прилипание» частиц к надписи, радиус, таким образом, резко увеличивается и звучит мелодия окончания построения. В этом случае надо нажать клавишу ввод и продолжить построение. Скорость построения кластера зависит от заданной скорости v и быстродействия компьютера.

2) введите значение параметра, моделирующего скорость движения частицы в направлении центра кристаллизации (скорость диффузии);

 

3) понаблюдайте за ростом кластера и изменением его фрактальной размерности;

4) запишите окончательное значение фрактальной размерности;

5) повторите моделирование для значений параметров больших и меньших первоначального, занося результаты в таблицу 1.

 

Таблица 1.

Значения параметра скорости v
Фрактальная размерность D

 

 

6) постройте график FD = f(v), где v - скорость.

	FD

 

7) сделайте вывод о связи между параметром скорости видом кластера и его фрактальной размерностью.

Оформление работы

Группа, фамилия, И.О.

 

Название лабораторной работы.

Цель лабораторной работы.

Порядок выполнения работы.

Результаты работы:

1) таблица 1 с занесенными значениями скорости и фрактальной размерности;

2) график FD = f(v).

 

Краткие выводы.

Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

 

 

1. Определите понятия “фрактал”, “фрактальный”.

2. Приведите примеры фрактальных структур в природе.

3. В чем отличие природных фрактальных структур от их математических (“идеальных”) представлений?

3. Что такое фрактальный кластер?

4. Что характеризует размерность фрактального кластера?

5. О каких процессах в природе свидетельствует образование фрактальных систем: фрактальных кластеров? Обоснуйте Ваше утверждение.

 

Лабораторная работа № 2.

Дискретные модели динамических систем. Клеточные автоматы

Цель работы: Исследование процессов самоорганизации в дискретных системах. Изучение процесса роста (активации клеток) на компьютерной модели.

 

Теоретический материал

Процессы, наблюдаемые в окружающем мире, мы подразделяем на детерминированные, развитие которых предопределяется начальными условиями, и стохастические, которые описываются с помощью статистических законов. В работе 1 было рассмотрено явление самоорганизации в результате стохастического процесса (образование и рост фрактального кластера). В результате подобных процессов для определенного диапазона параметров стохастических процессов мы получаем структуры, относительно постоянные по своим интегральным характеристикам (например, фрактальной размерности). Можно ли говорить о какой-либо самоорганизации в случае детерминированных процессов? Недавние исследования показали, что к самоорганизации способны и детерминированные системы, в которых состояние одного элемента строго определяется состоянием соседних элементов.

Можно ли создать математическую модель поведения таких систем?

Не все процессы реального мира удается представить в математическом виде систем дифференциальных уравнений, а для большинства тех, что могут быть представлены в таком виде, не представляется возможным получить аналитическое решение, и они решаются на ЭВМ численными методами. Численные же методы основаны на дискретном * представлении величин. Сама ЭВМ представляет собой дискретную систему, т.е. набор конечного числа элементов памяти, которые могут находиться в одном из нескольких фиксированных состояний, поэтому вычислить она может только дискретные величины. Так, например, при вычислении непрерывной функции T(x,t), заданной для диапазона 0 £ x £ l и описывающей процесс передачи тепла (уравнение теплопроводности), она заменяется дискретной функцией T_n(t), которая определена в точках x = 0, a, 2a, 3a,...na. Но этого еще недостаточно, ведь T_n(t) непрерывно зависит от времени. Следовательно, чтобы воспользоваться ЭВМ, придется от непрерывного времени 0 £ t £ t_max перейти к дискретному, и вместо функций T_n(t) рассматривать набор чисел T_n^к(t), который будет определять температуру в точках в моменты времени t = kt. Здесь можно также отметить, что квантовая теория говорит о том, что кристаллические структуры способны принимать и передавать энергию только дискретными порциями - квантами, зависящими от общего числа атомов в кристалле. Если же мы перейдем к микромиру - миру элементарных частиц, то мы увидим, что он в принципе дискретен. Таким образом, можно заключить, что дискретность является неотьемлемым свойством окружающего мира.

Оказывается, для описания сложных динамических систем, характеризующихся большим числом переменных, неполнотой данных, можно применить дискретную модель, в которой дискретными являются не только пространственная и временнáя координаты, но и само значение изучаемой величины. Такие модели были предложены в 1985 г. японскими учеными И.Оно и М.Кохмото и получили название клеточных автоматов.