Процедура ортогонализации Грамма-Шмидта и разложение сигнала по ортонормальным системам функций
Методические указания к выполнению лабораторных работ
по курсу «Введение в теорию сигналов» для студентов
направления 230401,квалификации 23040165
«Инженер-математик»
Ульяновск 2009
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цель работы.. 3
2. Краткие теоретические сведения. 3
3. Задание на лабораторную работу. 19
4. Содержание отчета. 21
5. Список контрольных вопросов. 21
1. Цель работы
Основной целью лабораторной работы является изучение способов ортогонализации и ортонормированных систем функций, аппроксимация заданного сигнала с помощью ортонормированных функций и изучение влияния количества членов ряда на качество аппроксимации сигнала.
Краткие теоретические сведения
При распространении положений векторного базисного пространства на функциональное пространство 
, в качестве координатного базиса пространства мы должны использовать совокупность функций 
, в пределе - бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций 
, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:
Система ортогональных функций на интервале 
будет ортонормальной, если все функции системы при 
имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:
.
Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:
.
Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормальную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.
Разложение сигнала в ряд
Произвольный сигнал 
(пространство Гильберта), заданный на интервале , может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций 
:
. (1)
Для нахождения значений коэффициентов 
умножим обе части данного выражения на базисную функцию 
с произвольным номером 
и проинтегрируем результаты по переменной 
, при этом получим:
.
С учетом ортонормальности функций 
, в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером 
при 
, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление:
. (2)
Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты представляют собой проекции вектор - сигнала 
на соответствующие базисные направления , т.е. координаты вектора по координатному базису, образованному системой ортогональных функций 
, в пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (1) ограничивается определенным значением 
, при этом для любого значения совокупность коэффициентов обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.
Используя понятия, введенные ранее, рассмотрим теперь задачу сопоставления произвольному сигналу с ограниченной энергией, т.е. временной функции (возможно, комплексной) 
ее численного представления. Задача сводится к нахождению подходящего отображения пространства 
в пространство 
, причем 
обычно выбирается компромиссно, с учетом точности и экономичности представления. Поскольку число измерений пространства бесконечно, а конечно, отображение должно быть типа «много в одно»; это подразумевает такую степень приближения, при которой произвольный сигнал из не может иметь представления в , отличного от представления всех других сигналов. К таким изображениям естественно подходить с позиций отношения эквивалентности. Мы разбиваем пространство на множества эквивалентности, каждому из которых взаимнооднозначно соответствует некоторая точка в .
Обычный подход к этой задаче состоит в выборе некоторого - мерного подпространства из . Пусть 
есть система линейно независимых функций в , так что при 
условие
выполняется почти всюду в том и только в том случае, если 
при всех 
.
Обозначим через 
линейное подпространство, натянутое на эти функции. Если рассматриваемый сигнал принадлежит , то он может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации 
:
и набор 
чисел (вектор - строка) 
образует искомое представление в . Поскольку есть пространство со скалярным произведением
,
то отношение между 
и 
может быть выражено в матричной форме:
или
,
где 
.
Применяя другую запись, введем в взаимные базисные функции 
, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации ;
,
причем
,
или в матричной форме
.
Используя взаимный базис, можно теперь написать
.
При определении базисных функций для представления сигнала часто используют понятие нормы с весом, для того, чтобы обратить особое внимание на некоторый участок области определения функции.
– удовлетворяет условиям скалярного произведения, где 
- вещественная неотрицательная функция, определенная на интервале . А система функций 
– ортонормальна с весом , если
.
При этом базисные функции претерпевают небольшие изменения:
,
где 
– ортонормальны в обычном смысле, а 
– с весом .
Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.
К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:
-для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;
-при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;
-базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;
-коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.
Процедура ортогонализации Грамма-Шмидта
Важное значение имеет построение ортогональных базисов. Одним из наиболее употребляемых способов при этом является так называемый рекуррентный способ ортогонализации Грама-Шмидта, который заключается в следующем.
Пусть в задана система 
линейно независимых векторов. Тогда система ортонормальных векторов 
получается путем нормализации вспомогательных векторов 
по следующему правилу:
, 
,
, 
,
, 
,
.......
, 
.
Заметим, что если функции 
переставить местами, то получим другую, но тоже ортонормальную систему.
Рассмотрим пример. Применим процедуру Грамма-Шмидта к последовательности функций 
, определенных на отрезке 
. В этом случае 
.
, 
, 
,
, 
, 
,
,
,
.......
Разложение сигнала по ортонормальным системам функций
Согласно теореме Дирехле, любой сигнал , имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале , может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:
.
Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Выбор типа функций в качестве координатного базиса сигнального пространства, определяется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигналов.
Рассмотрим примеры наиболее употребляемых ортонормированных систем функций, используемых для представления сигналов с заданными областью определения и весовой функцией .
1. Комплексные гармонические функции
Для комплексных гармонических функций 
и 
, функции уже ортогональны, следовательно, для получения ортонормальной системы их нужно нормировать, то есть поделить на норму соответствующей функции ряда. Найдем эту норму
.
Разложение
,
где
это представление рядом Фурье функций, которые ограниченных на отрезке 
, а также периодических с периодом, равным 
. Однако, это представление применимо для функций, заданных на любом конечном интервале, который можно привести к интервалу выбором подходящего масштаба по оси времени.
Рассмотрим пример. Пусть требуется с помощью гармонических функций представить сигнал, приведенный на рис. 1.(в дальнейшем будем рассматривать заданный сигнал).
Рис. 1.
Задан трапецевидный сигнал 
на интервале 
(рис. 1):
Необходимо представить его рядом комплексных гармонических функций, то есть в виде
.
Комплексные гармонические функции 
определены на интервале 
, следовательно, и исходный сигнал должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в 
раза, а затем произведем сдвиг на 
влево. Новый сигнал будет описываться формулой 
(рис. 2).
Рис. 2.
Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Затем переходим к исходному масштабу и получаем аппроксимированный исходный сигнал. Графики для различных приведены на рис. 3.
|
|
Рис. 3.
Найдем квадратическое отклонение исходного сигнала от его приближения:
для 
;
для 
.
Найдем максимальную ошибку приближения: 
. Для этого построим графики функции 
для и (рис.4).
Рис. 4.
Из графиков видно, что:
для 
и достигается при 
;
для 
и достигается при .
2. Полиномы Лежандра
Для 
и 
можно получить другую ортонормальную систему, применив процедуру Грамма-Шмидта к последовательности 
. В результате получаются нормированные полиномы:
где 
- полиномы Лежандра. Эти полиномы можно также считать по формуле
или по рекуррентной формуле
.
Полином 
имеет нулей, все они вещественны и находятся в интервале 
.
Разложим рассмотренный выше сигнал. Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 5.
 |
Рис. 5.
3. Полиномы Чебышева
Для и 
полиномы 
, 
образуют ортонормальную систему, где 
- полиномы Чебышева, заданные следующим образом:
Для 
удовлетворяют рекуррентной формуле
.
Свойствополиномов Чебышева: из всех полиномов -ой степени, имеющих коэффициент при 
, равный 1, на интервале наименее отклоняются от нуля.
Без весовой функции (рис. 6)
.
Рис. 6.
С весовой функции (рис. 7)
.
Рис. 7.
4. Функции Лагерра
Для 
и 
полиномы
образуют ортонормальную систему. Здесь 
- полиномы Лагерра, задаваемые формулой
.
Они имеют вещественных нулей на 
и удовлетворяют рекуррентному соотношению
.
Функции Лагерра имеют единичный вес и ортонормальны на
.
Разложим рассматриваемый нами сигнал. Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 8.
Рис. 8.
Они также могут быть получены применением процедуры Грамма-Шмидта к последовательности 
. Функции Лагерра могут быть реализованы практически как импульсные реакции сравнительно простых физических цепей конечного порядка. Для этого их записывают как
.
Функции 
имеют преобразование Лапласа вида
,
откуда видно, что -ая функция Лагерра - это импульсная реакция цепи, один каскад которой имеет передаточную функцию 
, а последующих одинаковы с функцией 
, т. е. это фазовращатели, не изменяющик энергию сигнала. Это так называемый «трансверсальный» фильтр, импульсная реакция которого есть произвольная линейная комбинация функций Лaгерра.
5. Функции Лежандра
Подстановка 
преобразует интервал для величины 
в интервал для величины 
, поэтому из полиномов Лежандра можно получить еще одну систему функций, ортонормальных на (
- произвольный действительный положительный параметр). Функции Лежандра
образуют ортонормальную систему на с единичным весом. Преобразования Лапласа от этих функций имеют полюсы при 
Графики аппроксимированного исходного сигнала для различных приведены на рис. 9. При этом параметр подбирается произвольно в зависимости от исходного сигнала.
Рис. 9.
6. Функции Чебышева
Преобразованием Чебышева получаем функции
,
которые ортонормальны с весом 
на . Полюсы преобразования Лапласа получаются при 
Графики аппроксимированного исходного сигнала для различных приведены на рис. 10
|
Рис. 10.
7. Функции Эрмита
Для 
и 
полиномы
образуют ортонормальную систему. 
- полиномы Эрмита, которые задаются в виде
или рекуррентной формулой
.
Функций Эрмита
ортонормальны с единичным весом на 
и могут быть получены процедурой Грама-Шмидта к последовательности 
.
Разложим рассматриваемый нами сигнал. Исходный сигнал можно предварительно задать на интервале 
(рис. 11).
Рис. 11.
Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 12.
Рис. 12.
8. Функции Уолша
Для 
и 
можно построить полную ортонормальную систему функций типа «прямоугольных волн». Каждая -ая функция содержит 
прямоугольных волн, поэтому в обозначении функции удобно использовать два индекса:
Эта система важна для практики, поскольку функции кусочно-постоянны и принимают лишь два значения (
или 
). Подобные сигналы могут быть легко получены с помощью двоичных логических схем. Перемножение таких сигналов для получения, скажем, скалярного произведения производится очень просто, с помощью ключа, изменяющего полярность и включаемого в нужные моменты времени. Заметим, что функции 
соответствуют обычным прямоугольным волнам. Мы можем перейти к соответствующей одноиндексной системе, упорядочив функции так, чтобы -ая функция раз пересекала нулевой уровень на интервале 
(т.е. раз меняла знак). Это достигается при следующих обозначениях:
,
где 
(рис. 13).
Рис. 13.
Функции Уолша определены на интервале 
, следовательно, и исходный сигнал должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в 
. Новый сигнал будет описываться формулой 
(рис. 14).
Рис. 14.
Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
.
Графики для различных приведены на рис. 15.
Рис. 15.
Задание на лабораторную работу
1. Применить процедуру Грамма-Шмидта к последовательности функций (см. Таблица 2), определенных на интервале 
, построить графики.
2. Аппроксимировать заданный в лабораторной работе №1 сигнал (см. Таблица 1) с помощью ортонормальных функций (см. Таблица 2).
3. Найти квадратическое отклонение сигнала от его аппроксимации и максимальную ошибку приближения.
4. Изучить влияние количества членов ряда на качество аппроксимации и сделать выводы о проделанной работе.
Таблица 1.
| № вар. | V1 | V2 | Td | Tr | Tf | Pw | T | № вар. | V1 | V2 | Td | Tr | Tf | Pw | T |
| 1.5 | 0.6 | 1.8 | 0.5 | ||||||||||||
| 1.5 | 1.2 | ||||||||||||||
Таблица 2.
| № вар. | Система функций | № вар. | Система функций |
| Комплексные гармонические функции | Функции Уолша | ||
| Полиномы Лежандра | Комплексные гармонические функции | ||
| Полиномы Чебышева | Полиномы Лежандра | ||
| Функции Лагерра | Полиномы Чебышева | ||
| Функции Лежандра | Функции Лагерра | ||
| Функции Чебышева | Функции Лежандра | ||
| Функции Эрмита | Функции Эрмита | ||
| Функции Уолша | Функции Уолша | ||
| Комплексные гармонические функции | Комплексные гармонические функции | ||
| Полиномы Лежандра | Полиномы Лежандра | ||
| Полиномы Чебышева | Полиномы Чебышева | ||
| Функции Лагерра | Функции Лагерра | ||
| Функции Лежандра | Функции Лежандра | ||
| Функции Эрмита | Функции Эрмита |
Содержание отчета
Отчет по выполненной лабораторной работе должен содержать:
– титульный лист;
– постановку задачи и цели работы;
– заданную последовательность ортонормальных функций;
– результат применения процедуры Грамма-Шмидта к заданной последовательности функций;
– выражение, определяющее исходный импульс, в среде MathCad и его графическое представление;
– формулы, по которым была получена аппроксимация;
– графическое представление аппроксимированного импульса;
– выводы о проделанной работе.
