Пример 1.
Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм3 воды, и массу m1 молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекулы.
Дано:
  
| Решение:
Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро NА на количество вещества v:
 .
Так как v = m/M, где М - молярная масса,
то  .
|
| N, m1, d -? |
Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим:
.
Произведем вычисления, учитывая, что для воды 
:
Массу m1 одной молекулы можно найти по формуле
(1)
Подставив в (1) значения М и NA, найдем массу молекулы воды:
Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубической ячейки) V1 = d3, где d – диаметр молекулы. Отсюда
. (2)
Объем V1 найдем, разделив молярный объем Vm на число молекул в моле, т.е. на NA :
(3)
Подставим выражение (3) и (2):
где 
. Тогда 
(4)
Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:
Произведем вычисления:
Пример 2.
В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р1= 1 МПа и при температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.
| Дано: р1= 1·106 Па Т1 = 300 К Т2 = 290 К m = 0,01кг V=1·10-2 м3 | Решение:
Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:
 (1)
|
| р2 -? |
где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.
Из уравнения (1) выразим искомое давления
(2)
Массу m2 гелия выразим через массу m1 , соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:
(3)
Массу m1 гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию газа:
(4)
Подставив выражение массы m1 в (3), а затем выражение m2 в (2), найдем:
или 
(5)
Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (Т2 / Т1) – безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое:
Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что 
, 
:
.
Пример 3.
Баллон содержит m 1= 80 г кислорода и m 1= 320 г аргона. Давление смеси p = 1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона.
| Дано: р= 1·106 Па m1 = 0,08 кг m2 = 0,32 кг T = 300 K | Решение: По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева – Клапейрона, парциальные давления р1 кислорода и р2 аргона выражаются формулами: |
| V -? |
.
Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов
р = р 1 + р 2, или 
,
Откуда объем баллона
.
Произведем вычисления, учитывая, что М 1 = 32·10-3 кг/моль, М 2 = 40·10-3 кг/моль, :
.
Пример 4.
Найти среднюю кинетическую энергию 
вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Е к вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.
Дано:
m = 0,004 кг
T = 350 K
| Решение:
На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия =  , где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа.
Так как вращательному движению двух- атомной молекулы (молекула кислорода -
|
| , Е к -?
|
двухатомная) соответствует две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода = 
. (1)
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа 
(2)
Число всех молекул газа
(3)
где NA – постоянная Авогадро, v – количество вещества.
Если учесть, что количество вещества v = m/M, где m – масса газа, М – молярная масса газа, то формула (3) примет вид
Подставив выражение N в формулу (2), получаем
. (4)
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода 
:
Пример 5.
Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении сP и постоянном объеме cV неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.
Решение:
Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами
где i – число степеней свободы молекулы газа, М – молярная масса. Для неона (одноатомного газа) i = 3 и M = 20·10-3 кг/моль.
Произведем вычисления:
.
Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и M = 2·10-3 кг/моль. Тогда
.
Пример 6.
Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением р1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р3 = 0,5 МПа. Найти изменение Δ U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.
| Дано: m = 2 кг V1 = 1 м3 р1 = 0,2·106 Па р3 = 0,5·106 Па V2 = 3 м3 | Решение:
Изменение внутренней энергии газа
 , (1)
где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5),  - разность температур газа в конеч-
|
| Δ U, А, Q -? |
ном (третьем) и начальном состояниях.
Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона 
, откуда 
.
| P P3 • 3 1 P1 • • 2 0 V1 V2 V Рис. 6 | Работа расширения газа при постоян- ном давлении выражается формулой
 .
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:
 .
Следовательно, полная работа, совершаемая газом,
 .
Согласно первому началу термоди-
намики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней
|
энергии Δ U и работы А:
.
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода :
;
;
;
;
;
;
.
График процесса приведен на рис. 6.
Пример 7.
В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре T1 = 300 K. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n1 = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.
| Дано: m = 0,02 кг T1 = 300 K n1 = 5 раз n2 = 5 раз | Решение:
Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношениями
 , или  ,
|
| T2, A1, A2 -? |
где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме, 
.
Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры
.
Работа А1 газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле
,
Где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде
, или 
, где n2 =V2 / V3.
Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа 
.
Так как 
(находится логарифмированием), то
,
Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами.
Пример 8.
Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T1 = 500 K. Определить КПД η цикла и температуру Т2 теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А = 350 Дж.
| Дано: T1 = 500 K А = 350 Дж Q1 = 1·103 Дж | Решение: Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой |
| η, Т2 -? |
,
где Q1 – теплота, полученная от теплоотдатчика, А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.
Зная КПД цикла, можно по формуле 
Определить температуру охладителя Т2
Произведем вычисления
Пример 9.
Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?
| Дано: d = 10 см. | Решение: Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе по- верхности оказывают давление на воздух, заклю- |
| р -? |
ченный внутри пузырька. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление
,
где r – радиус пузыря. Так как r = d/2, то 
.
Работу, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на Δ S, выражается формулой
В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря, S0 – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S0, получаем
Произведем вычисления:
;
.
