Т.С. Китаева
«Определение момента инерции с помощью маятника Обербека»
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 6
по курсу механики, молекулярной физики и термодинамики.
Калуга 2006 г.
Назначение прибора и правила
Безопасности труда при работе с ним.
Маятник Обербека предназначен для изучения прямолинейного равнопеременного и вращательного движения, в частности, для определения ускорения момента инерции тел.
1. Прибор разрешается эксплуатировать только при применении заземления и подробном ознакомлении с разделом «Экспериментальная часть» данного описания.
2. При работе с прибором следует соблюдать меры предосторожности согласно общим правилам по безопасности труда для устройств, в которых существует напряжение величиной до 220 
.
3. Во избежание обрыва нити установка грузов в начальное положение производится при ВЫКЛЮЧЕННОЙ клавише «Сеть»!
Введение.
Первая производная по времени 
от момента импульса 
механической системы относительно любой неподвижной точки 
равна главному моменту 
всех внешних сил, приложенных к системе относительно точки :
, (1)
где 
,
- радиус-вектор, проведённый из точки в точку приложения вектора силы 
.
,
где 
, 
- масса и скорость материальной точки.
Уравнение (1) выражает закон изменения момента импульса системы относительно точки и является основным уравнением динамики вращательного движения относительно неподвижной точки . Оно справедливо и для твёрдого тела, шарнирно закреплённого в точке и вращающегося вокруг неё.
Векторное уравнение (1) эквивалентно трём скалярным уравнения (2), каждое из которых из которых представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси 
, 
или 
:
(2)
В случае, когда материальная точка вращается по окружности радиуса 
относительно неподвижной оси вращения, проходящей через центр окружности, с угловой скоростью 
, основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид:
, (3)
где 
- момент инерции тела относительно той же оси вращения.
Момент инерции материальной точки 
относительно неподвижной оси:
,
где 
- расстояние от оси вращения.
Момент инерции системы материальных точек относительно неподвижной оси:
.
Момент инерции абсолютно твёрдого тела:
,
где 
- масса элементарного объёма тела; 
;
- плотность вещества;
- расстояние от элемента объёма 
до оси вращения.
Если тело однородно, то есть 
, тогда
(4)
Физический смысл: момент инерции тела является мерой инертности во вращательном движении относительно неподвижной оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
Формулу (4) можно использовать для теоретического определения момента инерции тела.
Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции этого тела 
относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями 
:
- теорема Штейнера.
Если 
, тогда (3) запишется:
или 
, (5)
где 
- мгновенное угловое ускорение тела.
Если изменение угловой скорости тела 
произошло за конечный промежуток времени 
, то под следует понимать среднее угловое ускорение за данный промежуток времени. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения запишется так:
(6)
Теоретическая часть.
Цель работы – изучение законов динамики вращательного движения и определение момента инерции твёрдого тела с помощью маятника Обербека.
Пусть невесомая нерастяжимая нить перекинута через закреплённый блок радиусом 
. Нижний конец нити намотан на нижний шкив радиусом 
, на одной оси которого расположена крестовина из четырёх взаимно перпендикулярных стержней с шайбами. К верхнему концу нити прикреплено тело массой (Рис. 1.).
Груз массой перемещается поступательно с ускорением 
вдоль оси :
(7)
Рис. 1. Вращение верхнего блока радиусом , если предположить отсутствие сил трения, описывается основным уравнением динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через точку :
, (8)
, (9)
где 
;
;
;
- масса блока.
Окончательно, вместо (8) с учётом (9) можно записать:
(10)
Вращение нижнего шкива радиусом и крестовины, скреплённой соосно с этим шкивом, описывается соответственно уравнением:
,
, (11)
где 
- момент инерции шкива;
- момент инерции крестовины;
- суммарный момент сил трения, действующих по оси шкива.
Полагаем, что 
. Решая совместно (7), (10) и (11), приходим к уравнению:
, (12)
где 
.
Поскольку силы и моменты сил в рассматриваемой системе являются постоянными по модулю, то груз опускается равноускоренно. Ускорение его можно определить из кинематического соотношения:
,
где 
- начальная высота груза;
- время его движения.
С учётом вышеизложенного формулу (12) можно преобразовать к следующему виду:
(13)
Поскольку масса груза , используемая в экспериментах, значительно превосходит массу верхнего блока , то 
.
Кроме того, при массе груза 
(или сведя момент сил трения в оси шкива до минимума), отношение 
.
Используя данные упрощения, уравнение (13) запишется так:
(14)
Найденную зависимость (14) можно использовать для определения момента инерции любого тела.
Экспериментальная часть.
Для определения момента инерции тела будем использовать установку маятник Обербека, изображённую на Рис. 2.
Она содержит вертикальную стойку 1, к которой прикреплены узлы, состоящие из блоков, осей и подшипников. Через блок 2 верхнего узла перекинута нить 3 с грузами 4. Нижний узел содержит двухступенчатый шкив 5, на ободе которого имеется вырез для закрепления нити 3. На одной оси со шкивом 5 находится крестовина, состоящая из четырех взаимно перпендикулярных стержней, ввинченных во втулку 6. На каждом стержне закреплены с помощью винта 7 шайбы 8. Перемещая шайбы 8 вдоль стержня, можно изменять момент инерции крестовины.
С другой стороны шкива 5 помещен электромагнитный фрикцион 9. При подаче на него напряжения, фрикцион удерживает обод шкива 5 от вращения. В нижней части вертикальной стоики 1 крепится узел, содержащий фотоэлектрический датчик 10, который вместе с миллисекундомером 11 составляет систему регистрации времени. Местонахождение груза 4 на высоте регистрируется при помощи миллиметровой линейки 12.
Рис. 2. Маятник Обербека.
Порядок выполнения эксперимента.
1. Закрепить шайбы на стержнях крестовины па расстоянии 
от оси вращения. Расстояние удобно отсчитывать с помощью рисок, которые нанесены на стержень с интервалом 
, при этом необходимо учитывать, что диаметр втулки равен 
.
2. Зацепить нить за вырез на ободе шкива 5, намотать нить на этот шкив, при этом к другому концу нити, перекинутому через блок, должен быть прикреплен груз массой 
. Поднять груз на высоту 
, наматывая одновременно нить на шкив 5. Совместить нижний край груза с риской на корпусе верхнего фотоэлектрического датчика, не перекрывая луча датчика.
3. Придерживая рукой груз в установленном положении, нажать на миллисекундомере кнопку «Сеть», при этом срабатывает электромагнит, и фрикцион стопорит шкив 5.
4. Нажатием кнопки «Сброс» привести миллисекундомер в исходное (нулевое) положение.
5. Нажать кнопку «Пуск», при этом электромагнитный фрикцион 9 освобождает шкив 5, а миллисекундомер начинает вести счет времени. Когда груз 4 пересекает оптическую ось фотоэлектрического датчика 10, счет времени миллисекундомером прекращается.
6. Записать показания миллисекундомера ().
7. Выключить кнопку «Сеть», нажать кнопку «Сброс».
8. Измерения повторить 5 раз: установить груз массой , нажать кнопку «Сеть», нажать кнопку «Пуск» и т.д.
9. Определить среднее время падения груза:
, 
.
10. Используя зависимости (11) и (14), рассчитать момент инерции крестовины относительно оси вращения.
, (15)
где 
- момент инерции шкива 5;
;
;
.
