Анализ и обработка результатов измерений.

Т.С. Китаева

«Определение ускорения свободного падения

с помощью прибора (машины) Атвуда»

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 2

по курсу механики, молекулярной физики и термодинамики.

 

Калуга 2006 г.

Назначение прибора (машины) Атвуда и

Правила безопасности труда при работе с ним.

Прибор Атвуда предназначен для изучения прямолинейного равномерного и равномерно-ускоренного движения, а в частности, для определения ускорения свободного падения тел.

1. Прибор разрешается эксплуатировать только при применении заземления и подробном ознакомлении с разделом «Экспериментальная часть» данного описания.

2. При работе с прибором следует соблюдать меры предосторожности согласно общим правилам по безопасности труда для устройств, в которых существует напряжение величиной до 220 .

3. Во избежание обрыва нити установка грузов в начальное положение производится при ВЫКЛЮЧЕННОЙ клавише «Сеть»!

 

Введение.

В основе классической (Ньютоновской) механики лежат три закона Ньютона, которые возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов (1687 г.). Классическая механика является механикой тел больших масс (по сравнению с массой атомов), движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

1 закон Ньютона: любое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состоянии, то есть:

, если , (1)

где - равнодействующая всех сил , действующих на тело. I закон Ньютона устанавливает факт существования инерциальных систем отсчета - в этом его значимость.

2 закон Ньютона: ускорение, с которым тело движется относительно инерциальной системы отсчета, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на тело, обратно пропорционально массе тела, и по направлению совпадает с равнодействующей всех сил:

(2)

Каждая сила , действующая на данное тело, сообщает ему это ускорение, как если бы другие силы отсутствовали. В этом заключается принцип независимости действия сил. Запишем II закон Ньютона в виде:

(3)

Выражение (3) называют основным уравнением динамики поступательного движения материальной точки в векторной форме.

В скалярной форме (3) представляет собой систему двух уравнений (в декартовой системе координат ), связывающих проекции сил и ускорений по соответствующим осям:

(4)

Запишем основное уравнение динамики в более общей форме с учетом того, что :

,

где - равнодействующая сила.

При

,

где - импульс тела (количество движения),

- скорость изменения импульса тела.

Или

,

где - импульс силы.

3 закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом в инерциальной системе отсчета с силами, равными по величине, про­тивоположными по направлению и приложенными к различным телам:

- в векторной форме,

- в скалярной форме,

где - сила, действующая на 1-ое тело со стороны 2-ого,

- сила, действующая на 2-ое тело со стороны 1-ого.

Различные взаимодействия, известные современной физике, сводятся к четырем типам: гравитационные, электромагнитные, сильные и слабые.

В рамках классической механики учитываются две разновидности электромагнитных сил - силы упругости и силы трения, и гравитационные силы - сила всемирного тяготения и, как частный ее случай, сила тяжести.

Действительно, согласно закону всемирного тяготения:

, (5)

где и - массы взаимодействующих материальных точек (или тел со сферически-симметричным распределением масс),

- расстояние между ними (или между их центрами),

- гравитационная постоянная.

Если - масса Земли, - масса произвольного тела вблизи поверхности Земли, тогда:

,

где - радиус Земли.

Величина, численно равная называется ускорением свободного падения у поверхности Земли:

, .

Тогда - сила тяжести.

Теоретическая часть.

 

Цель работы – определить ускорение свободного падения с помощью машины Атвуда.

На Рис. 1. представлена механическая система: через неподвижный невесомый блок, который вращается с малым трением (сила трения пренебрежимо мала), перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы массой каждый. На один из грузов положен перегрузок массой , после чего система из состояния покоя приходит в равноускоренное движение. На расстоянии от начала движения перегрузок отцепляется кольцом, после чего система продолжает рав номерное движение по пути .

 

 

начало движения

- путь равноускоренного движения

- время равноускоренного движения

 

 

удерживающее кольцо

- путь равномерного движения

- время равномерного движения

конец движения

Рис. 1. Механическая система грузов.

Рассмотрим силы, действующие на каждый из грузов. На первый груз действуют: - сила тяжести, - сила натяжения нити, - сила давления перегрузка.

Запишем основное уравнение динамики поступательного движения (2-ой закон Ньютона) для первого груза в векторной и скалярной форме на ось :

(6)

На второй груз действуют: - сила тяжести, - сила натяжения нити.

Для второго груза основное уравнение динамики поступательного движения в векторной и скалярной форме на ось запишется:

(7)

На перегрузок действуют: - сила тяжести, - сила реакции опоры.

Записывая основное уравнение динамики поступательного движения для перегрузка в векторной и скалярной форме на ось , получим:

(8)

Складывая систему уравнений (6)-(8) почленно и учитывая, что (по третьему закону Ньютона), и (из условия невесомости и нерастяжимости нити), получим:

(9)

или

.

Откуда выразим - ускорение свободного падения:

(10)

Запишем кинематические соотношения:

, (11)

С учётом (11):

(12)

Найденную зависимость (12) можно использовать для определения ускорения свободного падения.

 

Экспериментальная часть.

 

Общий вид прибора Атвуда показан на Рис. 2.

На вертикальной колонне (1) с основанием (2) закреплены три кронштейна: неподвижный нижний (3) и два подвижных – средний (4) и верхний (5). Через блок (6) перекинута нить с грузами (7) и (8) на её концах. Электромагнит (9) после подведения к нему питающего напряжения при помощи фрикционной муфты, удерживает систему блока с грузами в состоянии покоя.

Фиксированные положения среднего и верхнего кронштейнов устанавливают длину пути равноускоренного () и равномерного () движений. Для определения этих путей на колонне имеется миллиметровая шкала, все кронштейны имеют указатель положения, а верхний кронштейн дополнительную черту, облегчающую точное согласование нижней границы большого верхнего грузика с определенным началом пути при движении.

На среднем кронштейне закреплено задерживающее кольцо (10), которое снимает с падающего вниз большого груза перегрузок (), а фотоэлектрический датчик (11) в это время образует электрический импульс, сигнализирующий начало равномерного движения большого груза ().

На основании прибора, прикрепленный к нему жёстко, находится миллисекундомер (12). На лицевой панели миллисекундомера размещены следующие манипуляционные элементы:

«Сеть» - выключатель сети - нажатие этой клавиши включает питающее напряжение и автоматический сброс прибора;

«Сброс» - установка нуля измерителя - нажатие этой клавиши вызывает сброс схем миллисекундомера;

«Пуск» - управление электромагнитом - нажатие этой клавиши освобождает электромагнит и генерирует импульс разрешения на измерение.

Рис. 2. Общий вид машины Атвуда.

 

Выполнение эксперимента.

 

1. На правый большой груз положить дополнительный груз – перегрузок массой .

2. Согласовать нижнюю грань правого груза с чертой, нанесённой на верхнем кронштейне.

3. Включить «Сеть», при этом срабатывает электромагнит, и фрикцион стопорит блок (6).

4. Нажать клавишу «Пуск». При этом система грузов приходит в движение. В момент снятия перегрузка задерживающим кольцом включается миллисекундомер, отсчитывающий время равномерного движения груза на пути .

5. Записать показания миллисекундомера.

6. Выключить клавишу «Сеть».

7. Повторить опыт 5 раз.

8. Определить время .

9. Снять перегрузок , поместить на его место другой, массой .

10. Проделать операции п.п. 1-8.

11. Снять перегрузок , поместить на его место третий .

12. Проделать операции п.п. 1-8.

13. Измерить заданные пути равноускоренного и равномерного движений груза .

14. Рассчитать ускорение свободного падения для трёх значений :

(13)

15. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу № 1.

Таблица № 1.

Анализ и обработка результатов измерений.

 

При выводе расчетной формулы для ускорения свободного падения (13) были приняты следующие допущения: блок невесом, силы трения в блоке отсутствуют, нить невесома и нерастяжима.

В действительности, более точное определение ускорения свободного падения требует учета массы блока. При этом написанная ранее система уравнений (9) должна быть дополнена еще уравнением моментов, определяющим закон вращательного движения блока. Для оценки величины тормозящего момента требуется дополнительный эксперимент. Таким образом, в результате определения ускорения свободного падения по формуле (13) получаем результат, отличный от табличного.

1. Определить абсолютную погрешность:

, (14)

где - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности и (трёх подсерий измерений).

2. Определить относительную погрешность:

(15)

3. Записать окончательный результат:

, (16)

(соблюдая правила округления).

Примечание. Если теоретическое значение не попадает в указанный интервал (16), проанализировать возможные математические погрешности (о влиянии массы блока).

 

Контрольные вопросы.

 

1. Вывести формулу для расчёта ускорения свободного падения с учётом массы блока .

2. Чем определяется ускорение свободного падения вблизи поверхности любой другой планеты?

 

Литература.

 

1. Сивухин Д.В. «Общий курс физики», т. 1. Механика. М., Наука, 1979.

2. Стрелков С.П. «Механика». М., Наука, 1975.

3. Савельев И.В. «Курс общей физики», т. 1. Механика. Молекулярная физика. М., Наука, 1982.

4. Савельев И.В. «Курс общей физики в пяти книгах». М., АСТРЕЛЬ, А.С.Т., 2003.