Лабораторна робота №18
Тема: Трендові моделі економічного родзвитку
Мета роботи: побудувати трендову модель економічного розвитку на основі економічного аналізу і математико-статестичних процедур
Теоретичні відомості.
Взявши за основу типізації економічного розвитку динаміку абсолютних приростів можна виділити як мінімум чотири типи економічного зростання:
I - постійне зростання (характеризується постійним або близьким до нього абсолютним приростом);
ІІ- зростання, що збільшується (характеризується абсолютним приростом, що збільшується);
III - зростання, що зменшується (характеризується абсолютним приростом, що зменшується);
ІV – зростання з якісною зміною характеристик впродовж даного періоду.
Розглянемо трендові моделі, що відображають основні особливості типів економічного зростання. Оскільки важливою властивістю тренда є його гладкість, при виборі трендових моделей перевага віддається неперервним функціям, що диференціюються. На відміну від показника фактичного динамічного ряду 
значення трендів позначатимемо 
.
Тип зростання I. Економічне зростання з постійним абсолютним приростом описується лінійною функцією
де а - теоретичний рівень базисного року; b - постійний щорічний абсолютний приріст
Темп приросту 
монотонно спадає та асимптотично наближається до нуля
Тип зростання II. Характерний випадок розвитку зі зростаючим абсолютним приростом описується показниковою або експоненціальною функціями:
де а - теоретичний початковий рівень (а > 0); b - постійний темп приросту.
Абсолютні прирости даних функцій безперервно зростають.
Інший характерний випадок в рамках типу II – ріст з постійним абсолютним прискоренням, який описується параболою другого порядку з додатніми параметрами:
Темп приросту в цьому випадку або монотонно спадає або на початковому інтервалі часу зростає, а потім спадає.
Функція може змінюватися двояким чином:
1) або монотонно убуває;
2) або на початковому інтервалі часу зростає, а потім убуває
Функція гарно відображає тенденції розвитку багатьох економічних процесів, коли абсолютні прирости продовжують збільшуватися, а темпи приросту знижуються.
Тип зростання III. В рамках даного типа доцільно розрізняти: IIIa - зростання, що зменшується та не має межі; IIIб - зростання, що зменшується та має межу (насичення).
Моделями тренда, що відображають тип економічного зростання Ша, можуть служити, наприклад, функції з позитивними параметрами: лінійно-логарифмічна
та степенева
, 
Функції, що служать моделями зростання типу IIIб, мають межу. Це, наприклад, гіпербола першого порядку
.
Тип росту IV. Характерною властивістю трендових моделей, що описують даний тип розвитку, є наявність точки перегину t*, у якій абсолютне прискорення рівне нулю і змінює свій знак:
Цією властивістю володіє ряд функцій, які розглядалися вище, але мають параметри різного знаку. Обмежимося ситуацією, коли зростання, що збільшується, змінялося зростанням, що зменшується. Для цієї ситуації застосовні наступні функції: лінійно-логарифмічна другого порядку при с < 0, парабола третього порядку при 
.
До цього класу відносять також логістичну функцію
.
Побудова трендових моделей. Методика побудови трендових моделей економічного розвитку є поєднанням якісного економічного аналізу і формальних математико-статистичних процедур. Побудова трендової моделі включає ряд етапів.
1) Вибір класу функцій тренда 
. Розроблені пакети програм побудови і аналізу трендових моделей включають велику кількість функцій. Для побудови моделі певного економічного показника доцільно обмежити їх кількість, відібравши ті, які відображають головні особливості динаміки досліджуваного показника.
2) Оцінювання параметрів функцій. Оцінка параметрів трендових моделей проводиться методами регресійного аналізу. Для лінійних моделей широко використовуються модифікації методу найменших квадратів.
3) Обчислення значень формальних критеріїв апроксимації. Для характеристики близькості тренда до динамічного ряду, що апроксимується, застосовується декілька формальних критеріїв: сума квадратів відхилень значень тренда від фактичних значень, значення коефіцієнта детерміації і т.д. Найкращими вважаються ті функції тренда, які мають кращі значення критеріїв.
4) Аналіз залишкової компоненти динамічного ряду. Залишкова компоненту динамічного ряду e(t) повинна задовольняти ряду формальних вимог (незалежність, постійність дисперсії, підпорядкування нормальному закону розподілу).
5) Вибір функції тренда. Результатом попередніх етапів є побудова, як правило, декількох функцій тренда для одного показника. Вибір "кращої" функції проводиться шляхом зіставлення значень формальних критеріїв апроксимації, процедур оцінювання параметрів по їх складності, властивостей залишкової компоненти, а також можливостей економічної інтерпретації і використання тієї або іншої функції в ретроспективному аналізі і прогнозуванні.
Хід роботи
Приклад розв’язання задачі.
Задача 1. В Таблиці 1 приведені дані про середні квартальні витрати на одну корову в $ (Y) на фермі “Нова”. На підставі даних представленої вибірки перевірити наявність тенденції, використовуючи метод середніх (прийняти рівень значущості – 10%). При наявності тенденції побудувати трендову моделі, визначивши тип росту на основі абсолютних приростів.
Таблиця 1
| квартал | I | II | III | IV | I | II | III | IV | I | II |
| Y |
| III | IV | I | II | III | IV |
1) Перевіримо дані на наявність тенденції, використовуючи метод середніх. Для цього розділимо ряд на дві приблизно однакові частини. В нашому випадку розіб’ємо вибірку на 2 частини по 8 елементів в кожній. Т.т. n1 = n2 = 8. Для кожної з частин обчислимо величини середніх та дисперсій (
), де 
.
Після цього перевіряється гіпотеза про рівність дисперсій на рівні значимості 
, для чого формулюються дві гіпотези: 
.
Значимість відмінностей перевіряється шляхом обчислення 
. Знайдена величина порівнюється з критичним значенням F при 
та 
на рівні значимості . Якщо 
, то приймається гіпотеза H0.
В нашому випадку 
, а отже приймаємо гіпотезу Н0.
Після цього перевіряється основна гіпотеза 
та гіпотеза 
. Для цього розраховується величина 
.
Якщо 
, то приймається нульова гіпотез про рівність середніх, розходження між обчисленими середніми незначне, т.т. – тренд відсутній.
В нашому випадку різниця між середніми значима 
, а отже робимо висновок про наявність тренду.
2) обчислимо середній абсолютний приріс, використовуючи формулу 
. Отримали наступні значення:
| квартал | Y | абсолютний приріст |
| I | - | |
| II | ||
| III | ||
| IV | -1 | |
| I | -2 | |
| II | -7 | |
| III | ||
| IV | -2 | |
| I | -1 | |
| II | -3 | |
| III | -3 | |
| IV | -3 | |
| I | -1 | |
| II | -1 | |
| III | -6 | |
| IV | -4 |
. Отже, в цьому випадку абсолютний приріст відповідає І) типу економічного зростання з постійним або близьким до нього абсолютним приростом і описується лінійною функцією.
Скориставшись можливостями табличного процесора МS Excel побудуємо лінію відповідну тренду, визначивши коефіцієнт детермінації та рівняння.
Варіанти для самостійної роботи:
Варіант 1:
Деканату була представлена інформація про щорічний приріст червоних дипломів на факультеті економічна кібернетика (у відсотках до попереднього року) в сукупності по денному і вечірньому відділенню з 1985 по 2001 рік. Дані представлені в Таблиці.
Перевірте данні на наявність тенденції в динаміці кількості червоних дипломів методом середніх (прийняти рівень значущості – 10%). Побудуйте рівняння тренду та спрогнозуйте кількість червоних дипломів в 2002 році.
| Рiк | ||||||
| Кількість червоних дипломів, шт. (Y) |
Варіант 2.
Вивчається динаміка споживання м'яса в регіоні. Для цього були зібрані дані про об'єми споживання м'яса у (кг) за рік в середньому на одну людину.
| місяці | ||||||
| об'єми споживання м'яса | 7,31 | 8,16 | 8,33 | 8,75 | 9,20 | 9,02 |
| 9,48 | 9,77 | 9,97 | 10,07 | 9,87 | 10,07 |
Перевірте данні на наявність тенденції методом середніх (прийняти рівень значущості – 5 %). Побудуйте лінію тренду та дайте інтерпретацію параметрів.
Варіант 3
Відомі наступні дані про вартість основних фондів підприємства “Промінь” в 2005 році. На підставі даних представленої вибірки перевірити наявність тенденції, використовуючи метод середніх (прийняти рівень значущості – 10%).
| Місяць | Січень | Лютий | Березень | Квітень | Травень | Червень |
| Y (тис. гр.од) | 834,3 | 736,0 | 914,5 | 881,9 | 800,85 | 831,5 |
| Липень | Серпень | Вересень | Жовтень | Листопад | Грудень |
| 855,8 | 899,37 | 900,12 | 973,5 | 1250,8 |
Обчисліть характеристики, що визначають якість моделі та зробіть інтервальний прогноз на січень 2006 року.
Варіант 4
. Є дані про прямі іноземні інвестиції в Україну (млн. дол.. США) за період з 1995 по 2004 роки. Перевірте дані на наявність тенденції та проаналізуйте параметри моделі.
| Рік | Y |
| 483,5 | |
| 896,9 | |
| 1438,2 | |
| 2063,6 | |
| 2810,7 | |
| 3281,8 | |
| 3875,0 | |
| 4555,3 | |
| 5339,0 | |
| 6657,6 |
Варіант 5.
Дослідження споживання соків фірми “Яблучко” в середньому за день,в літрах, за двотижневий період дало наступні результати.
| День | ||||||||||
| Y | 1.4 | 1.48 | 1.52 | 1.44 | 1.55 | 1.25 | 1.53 | 1.46 | 1.9 | 1.92 |
| 1.92 | 1.97 | 1.93 | 1.63 |
Обґрунтуйте необхідність побудови трендової моделі. Підберіть форму рівняння тренда, на підставі типу зростання абсолютного приросту. Перевірте якість моделі.
Варіант 6.
Використовуючи дані по споживання цукру (кг) на душу населення, перевірте ряд динаміки на наявність тенденцій. Зробіть інтервальний та точковий прогноз на 2007 рік.
| Роки | |||||||
| У | 41,4 | 43,2 | 45,4 | 51,8 | 49,7 | 51,7 | 50,4 |
| 49,3 | 47,5 | 44,4 | 42,8 |
Варіант 7.
В таблиці приведені дані про обсяги виробництва (т) товару за 2 роки. На підставі даних представленої вибірки перевірити наявність тенденції, використовуючи метод середніх (прийняти рівень значущості – 10%).
Побудуйте лінію тренду та охарактеризуйте її параметри.
| квартал | Y | квартал | Y | квартал | Y |
| I | I | I | |||
| II | II | II | |||
| III | III | III | |||
| IV | IV | IV |
Варіант 8.
Використовуючи дані про кількість промислових підприємств, що впроваджували інновації за період з 1995 по 2002, перевірити вибірку на наявність тенденції прийняти рівень значущості – 5%).
| Рік | ||||||||
| У |
Побудуйте лінію тренду та дайте інтерпретацію параметрів.
