МЕХАНИКА
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
определение отношения теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме для воздуха методом адиабатического расширения
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2003 г.
Цель работы – изучить законы идеального газа и основные положения классической теории теплоёмкости; определить коэффициент Пуассона g - отношение теплоёмкости при постоянном давлении Ср к теплоемкости при постоянном объеме CV методом адиабатического расширения (методом Клемана - Дезорма).
Общие сведения
Количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К, называют молярной теплоемкостью. 
(M –масса газа, m - масса моля). Как показывают и теория, и опыт, теплоемкость зависит от условий, при которых нагревается газ, т.е. от характера термодинамического процесса.
Теплоёмкость газа при постоянном давлении (Сp) больше теплоёмкости при постоянном объёме (Cv). Это легко показать качественно на основании первого начала термодинамики.
Q =D U + A (1)
Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа не совершается и все подводимое тепло идет на увеличение запаса его внутренней энергии U, т.е. только на повышение температуры газа. Если же газ нагревается при постоянном давлении, он расширяется и производит работу, требующую дополнительного расхода тепла. Таким образом, для повышения температуры газа на определённую величину в изобарном процессе требуется большее количество теплоты, чем при изохорном.
Как следует из теории
Cp = CV + R (2)
где R – универсальная газовая постоянная.
Выражение (2) носит название соотношения Р.Майера.
Отношение g= Ср / CV входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, идущий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0):
. (3)
Здесь 
и V 1 - давление и объем газа в первом состоянии; p 2 и 
- давление и объем газа во втором состоянии.
Полную теплоизоляцию газа от внешней среды осуществить невозможно. Однако, если параметры состояния газа изменяются очень быстро, процесс можно приближенно считать адиабатическим. На практике адиабатический процесс совершается в некоторых тепловых двигателях (к примеру, в двигателе Дизеля); распространение звука в газах (быстрое периодическое изменение давления в малых областях пространства) также протекает адиабатически.
Вывод рабочей формулы.
Рассмотрим метод Клемана – Дезорма. Накачаем насосом воздух в большой стеклянный баллон В (см. рисунок) и закроем кран K. При быстром сжатии температура воздуха повышается. Поэтому после прекращения нагнетания разность уровней жидкости в манометре будет постепенно уменьшаться, пока температура воздуха внутри баллона не сравняется с температурой окружающего воздуха. Назовем состояние воздуха в баллоне после выравнивания температур состоянием 1. Параметры состояния 1: V 1 - объем единицы массы воздуха; t 1 - температура воздуха; H + h 1 - давление в баллоне, выраженное в единицах разности уровней жидкости в манометре*); Н - атмосферное давление; h 1 – избыточное давление, созданное накачиванием.
Откроем кран К и, как только давление в баллоне В сравняется с атмосферным (это можно определить по прекращению характерного шипения), закроем его. Так как расширение происходит очень быстро, то процесс близок к адиабатическому и, следовательно, температура понизится до t 2. Объем единицы массы воздуха станет равным V 2. Воздух, оставшийся в баллоне, перейдет в состояние 2 с параметрами V 2, t 2, Н. Так как температура t 2 меньше наружной, то воздух в баллоне будет постепенно нагреваться (вследствие теплообмена с окружающей средой) до температуры окружающего воздуха t1. Это нагревание происходит изохорически, так как кран закрыт. Давление воздуха в баллоне увеличивается по сравнению с атмосферным, и в манометре возникает разность уровней h 2, т.е. воздух переходит в состояние V 2, t 1, Н + h 2.
Таким образом, мы имеем три состояния газа со следующими параметрами:
| Состояние Параметр | |||
| Объем | V 1 | V 2 | V 2 |
| Температура | t 1 | t 2 | t 1 |
| Давление | Н + h 1 | Н | Н + h 2 |
В состояниях 1 и 3 воздух имеет одинаковую температуру, следовательно, параметры этих состояний можно связать уравнением Бойля – Мариотта:
(4)
Переход от состояния 1 к состоянию 2 происходит адиабатически, поэтому параметры их связаны уравнением Пуассона (3):
. (5)
Преобразуем уравнения (4) и (5). Возведем обе части уравнения (4) в степень g:
.
Разделив почленно полученное равенство на выражение (5), запишем
. (6)
Прологарифмировав равенство (6), получим
,
откуда
Так как величины h 1 и h 2, выраженные в миллиметрах ртутного столба, очень малы по сравнению с Н и, следовательно, дроби h 1/ H и (h 1 - h 2)/(H + h 2) также незначительны, для нахождения величины логарифма можно воспользоваться выражением
,
где х - малая величина.
Поскольку х 2 и, тем более, х 3 - величины высших порядков малости, ими можно пренебречь, тогда lg(1 + x) @ x и, следовательно,
Пренебрегая величиной h 2 в сумме H + h 2, получим расчетную формулу
. (7)
Порядок выполнения работы.
1) открыв кран K, накачать насосом воздух в баллон В; закрыть кран;
2) измерить разность уровней h 1, когда разность уровней жидкости в манометре стабилизируется;
3) открыть кран K, и когда избыток воздуха выйдет из баллона (прекратится характерное шипение воздуха), быстро закрыть его;
4) измерить разность уровней h 2, когда разность уровней жидкости в манометре стабилизируется (температура воздуха в баллоне станет равной комнатной температуре);
5) повторить пп.1-4 не менее десяти раз, заполняя по результатам измерений таблицу:
Таблица 1
| Физ. величина | h 1 | Dh1 | h 2 | Dh2 | h 1 - h 2 | g i |
| Ед. измерения Номер опыта | ||||||
| 1. | ||||||
| 2. | ||||||
| … | ||||||
| n |
___________________
Примечание. Dh1 и Dh2 - приборная ошибка в измерении h 1 и h 2. Dh1= Dh2 = 1 мм.
6) вычислить g для каждого измерения по формуле (7); найти среднее значение 
;
7) погрешность измерения в этом случае (величина g определяется многократно) допускается рассчитать как среднюю квадратичную для серии n измерений:
.
8) привести окончательный результат.
Контрольные вопросы
1. Что такое теплоемкость, молярная теплоемкость, удельная теплоемкость? Как они связаны? Какова размерность теплоемкости? От чего зависит молярная теплоемкость?
2. Почему Cp > CV с точки зрения первого начала термодинамики?
3. Какой процесс называют адиабатическим? Каким уравнением описывается адиабатический процесс? Изобразите адиабату в координатах p-T, V-T, p-V.
4. Какие термодинамические процессы происходят в данной работе? Изобразите эти процессы в координатах p-T, V-T, р-V.
5. Почему измерение давления следует производить не сразу после напуска (выпускания) воздуха, а через некоторое время?
6. Для чего баллон покрыт теплоизолирующей оболочкой?
*) Гидростатическое давление выражается через разность уровней: p = r gh (r - плотность жидкости). В итоговую формулу давления войдут в виде отношения, поэтому сомножитель r g можно опустить с самого начала.
