Сила удара молекулы о стенку будет равна

 

,

 

при ударе N молекул сумма сил

 

Давление газа на стенки сосуда

 

, , р = 2 m_i V_i Z.

 

Число ударов

. (2)

 

Будем считать массы молекул одинаковыми и скорость равной средней квадратичной.

Тогда

 

 

. (3)

 

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории

 

,

 

получим

 

 

подставив в уравнение (3), получим

 

.

 

Средняя квадратичная скорость

 

 

Окончательно получим

 

1. Изобарный процесс: р = const, следовательно, , так как .

Отношение т. е. при изобарном расширении число ударов убывает, но скорость молекулы увеличивается, так как температура возрастает, а значит и сила удара увеличивается, давление остается постоянным.

2. Изотермический процесс: Т = const,

 

 

При изотермическом расширении сила удара не изменяется, так как скорость остается постоянной, количество ударов уменьшается, следовательно, давление падает.

3. Адиабатический процесс: Q = 0.

 

- уравнение адиабаты;

(газ двухатомный);

 

Сравнивая результаты, видим, что в адиабатическом процессе число ударов уменьшается сильнее, чем в изотермическом, так как одновременно изменяются и объем, и температура, т. е. изменяется скорость движения молекулы и концентрация молекул. В результате давление падает сильнее, чем в изотермическом процессе.

Вывод: в изотермическом процессе расширения давление уменьшается только за счет уменьшения числа ударов, скорость молекул постоянна, а в адиабатическом процессе изменяется одновременно число ударов и сила удара. В этом состоит причина более резкого падения давления при адиабатическом расширении.

 

Задача 3. Двухатомный газ занимает объем V₁ = 0,5 л при давлении = 0,5 ^. 10⁵ Па. Газ сжимают адиабатически до некоторого давления и объема V₂, затем при постоянном объеме V₂ охлаждают до первоначальной температуры. При этом давление становится равным = 10⁵ Па. 1) Начертите график этого процесса; 2) найдите объем V₂ и давление .

Дано:

= 0,5 ^. 10⁵ Па

= 10⁵ Па

V₁ = 0,5 л = 0,5 ^. 10^–3 м³

V₂ -? -?

 

Рис. 21.4

 

Решение

 

При построении графика нужно учесть: 1) газ сжимается, т. е. V₂ < V₁ 1 - 2 - адиабата; 2) в процессе охлаждения V₂ = V₃ = const, следовательно, процесс изохорный, давление р уменьшается; 3) так как по условию Т ₃ = Т ₁, то через точки 1 и 3 можно провести изотерму. При решении используем уравнение изотермы р V = const, или V₁ = V₂ (V₂ = V₃, так как процесс 2 - 3 изохорный).

Тогда

 

м³.

 

Давление найдем из уравнения адиабаты:

 

.

 

Показатель адиабаты , так как i = 5 (газ двухатомный).

 

Па.

 

Ответ: V ₂ = 0,25 ^. 10^–3 м³; Р ₂ = 1,32 ^. 10⁵ Па.

 

Задача 4. В сосуде под поршнем находится гремучий газ, занимающий объем 10^–4 м³ при нормальных условиях. При быстром сжатии газ воспламеняется. Найти температуру воспламенения гремучего газа, если работа сжатия равна 47,3 Дж.

 

Дано: Решение

V = 10^–4 м³

= 10⁵ Па

Т ₁ = 273 К

А = 47,3 Дж

Т ₂ -?

 

Применив первое начало термодинамики к адиабатическому процессу, получим

 

Q = 0; D U = - A.

 

Сжатие совершают внешние силы, работа внешних сил считается отрицательной; внутренняя энергия газа возрастает за счет совершенной внешними силами работы. Температура газа повышается

 

,

 

где D Т = Т ₂ – Т ₁.

Тогда работа

 

 

Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона,

 

откуда

 

Тогда

 

К.

 

Ответ: Т ₂ = 775 К.

 

Задача 5. Автомобильная шина была накачана до давления = 2,2 атм при температуре t ₁ = 15 ⁰С; во время движения она нагрелась до t ₂ = 55 ⁰С и лопнула. На сколько градусов охладился вышедший из шины воздух (процесс считать адиабатическим).

 

Дано: Решение

= 2,2 атм

t ₁ = 15 ⁰С; Т ₁ = 288 К

t ₂ = 55 ⁰С; Т ₂ = 328 К

= 1 атм

D Т ₂ -?

 

 

. (1)

 

2) для адиабатического процесса

;

. (2)

Из уравнения (1)

g = 1,4; Т ₃ – температура после адиабатического расширения.

Вычислим

;

 

Т ₃ = 0,76 ^. Т ₂ = 250 К;

 

D Т ₂ = Т ₃ – Т ₂ = (250 – 328) К = – 78 К.

Ответ: воздух охладился на 78 К.

 

Задача 6. Чему равна теплоемкость идеального газа в изотермическом и в адиабатическом процессе.

Дано:

а) T = const

б) Q = 0

С ₁ -? С ₂ -?

а) D Т = 0; С ₁ ® ¥.

б) Q = 0; С _2­ = 0.

 

Ответ: С ₁ ® ¥; С _2­ = 0.

 

Задача 7^*. На рис.21.5 показан обратимый переход идеального двухатомного газа из состояния 1 в состояние 2. Процесс состоит из изотермического участка 1 - 3 и адиабатического участка 3 - 2. В начальном состоянии V₁ = 10^–3 м³, = 3 ^. 10⁵ Па в конечном состоянии V₂ = 2 ^. 10^–3 м³, = 1,33 ^. 10⁵ Па. Вычислить работу, совершенную газом в процессе перехода 1 - 3 - 2.

 

Дано:

V₁ = 10^–3 м³

V₂ = 2 ^. 10^–3 м³

= 3 ^. 10⁵ Па

= 1,33 ^. 10⁵ Па

А _1-2 –?

 

Решение

При переходе 1 - 2 работа складывается из двух работ: А _1-3 – работа перехода из 1 в 3 состояние, и А _{3 - 2} – работа перехода из 3 во 2 состояние, т.е.

,

 

1 – 3 – изотерма.

,

причем

V₁ = V₃,

 

3 – 2 – адиабата.

Так как работа в адиабатном процессе равна изменению внутренней энергии:

 

V₃ = V₁,

тогда

 

Полная работа перехода 1 - 2 равна

. (1)

 

Определим отношение , решив систему уравнений:

.

 

Разделим второе уравнение на первое:

 

Домножив и разделив левую часть равенства на , получим

Тогда

(2)

 

Полученное выражение (2) подставим в формулу работы (1)

 

отсюда g = 1,4 (двухатомный газ).

Окончательно

 

 

После подстановки

 

Дж.

 

Ответ: А _1-2 = 203 Дж.

 

Задача 8. При адиабатическом сжатии кислорода массой т = 20 г его внутренняя энергия увеличилась на 8360 Дж и температура повысилась до t ₂ = 643 ⁰С. Найти: 1) повышение температуры D Т; 2) конечное давление газа , если начальное давление = 2 атм.

 

Дано: Решение

т = 20 г = 2 ^. 10^–2 кг

m = 32 ^. 10^–3

i = 5

D U = 8360 Дж

t ₂ = 643 ⁰С; Т ₂ = 916 К

= 2 атм = 2 ^. 10⁵ Па

D Т -? -?

 

1) Тогда

Вычисление:

К = 648 К.

 

2) Запишим уравнение адиабаты в виде

 

,

то есть

 

К.

 

Подставив числовые данные, получим

 

Па.

 

Ответ: D Т = 648 К; = 2,76 ^. 10⁷ Па.

 

Качественные задачи

Задача 1. Изобразить для идеального газа примерные графики изохорического, изобарического, изотермического и адиабатического процессов на диаграммах: а) р, V; б) Т, V; в) р, Т. Графики изобразить проходящими через общую для них точку.

 

Задача 2. На рис.21.6 изображены две изотермы для одной и той же массы идеального газа. Какая из температур больше?

 

Задача 3. На рис. 21.7 изображены пять процессов, протекающих с идеальным газом. Как ведет себя внутренняя энергия газа в ходе каждого из процессов?

 

 

 

Задача 4. Изобразить для идеального газа примерные графики: а) изохорного, изобарного, адиабатического процессов на диаграмме U, Т; б) изохорного, изобарного, изотермического и адиабатического процессов в координатах U, V и U, р. U откладывать по оси ординат. Исходное состояние общее для всех процессов. U – внутренняя энергия.

 

Задача 5. Температура одного моля идеального газа с известным g повышается на D Т в изобарном и адиабатическом процессах. Определить приращение внутренней энергии идеального газа в этих случаях.

 

Задача 6. Чему равна теплоемкость С идеального газа при: а) изотермическом; б) адиабатическом процессе.

 

Задача 7. Как изменится температура идеального газа при адиабатическом расширении? сжатии?

 

Задача 8. Температура газа в адиабатическом процессе уменьшилась на D Т = 50 К. Как изменился объем газа? Как изменилась его внутренняя энергия? Какую работу совершил газ?