Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

3. Линейная функция. Свойства и график.

Линейная функция — функция вида (для функций одной переменной).

Свойства функции.

Область определения функции - множество R всех действительных чисел.

Корни - единственный корень x = 0.

Промежутки постоянного знака зависят от знака параметра k:

k > 0, то y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0;
k < 0, то y > 0 при x < 0; y < 0 при x > 0.

Экстремумов нет.

Монотонность функции:

если k > 0, то y возрастает на всей числовой оси;
если k < 0, то y убывает на всей числовой оси.

Наибольшего и наименьшего значений нет.

Область значений - множество R.

Четность - функция y = kx нечетная

 

4. Квадратичная функция. Свойства и график.

 

Квадратичная функция — функция, которую можно задать формулой вида , где .

 

 

Свойства функции у = х²

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс

3. Множеством значений функции у = х² является промежуток [0; + ∞)

4. Противоположным значениям х соответствует одно и тоже значение у, т.е. если значения аргумента отличают­ся только знаком, то значения функции равны, график симметричен относительно оси ординат (функция у = х² - четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х² возрастает

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х² убывает

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

5. Функция y = xⁿ, n принадлежит N. Свойства и график.

Степенная функция – это функция вида y = xⁿ
(где x – независимая переменная, n – натуральное число).

Свойства степенной функции различаются в зависимости от того, четным или нечетным является значение n.

Свойства степенной функции y = xⁿ при четном значении n.

Графиком функции является парабола, расположенная в положительной полуплоскости координат (рис.1).

1. Если x = 0, то y = 0.
График функции проходит через начало координат.

2. Если x ≠ 0, то y > 0.
График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.
Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.

4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) - возрастает.

5. Областью значений функции являются неотрицательные числа от 0 до +∞.

Свойства степенной функции y = xⁿ при нечетном значении n.

Графиком функции является винтообразная кривая (рис.2).

1. Если x = 0, то y = 0.
График функции проходит через начало координат.

2. Если x > 0, то y > 0.
Если x < 0, то y < 0.
График функции проходит через первую и третью координатные четверти.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
Пояснение: возьмем функцию y =x³. Если x = 2, то y = 8. Если x = –2, то y = –8.