Определение модуля сдвига и модуля Юнга проволоки методом крутильных колебаний

 

Цель работы: изучение крутильных колебаний маятника, определение модуля сдвига G и модуля Юнга E.

Все реальные твердые тела под действием внешних сил деформируются, т.е. изменяют свою форму: удлиняются, сжимаются, закручиваются, изгибаются и т.д. Тела, в которых после прекращения действия внешней силы деформация полностью исчезает и восстанавливается первоначальная форма, называются абсолютно упругими. При небольших деформациях многие твердые тела (в частности, металлические) ведут себя почти как абсолютно упругие. Остаточные деформации в них весьма малы и часто их можно не учитывать. При простом растяжении или сжатии деформация однородна. Тогда как при кручении она неоднородна, т.е. изменяется от точки к точке.

Если взять однородную проволоку, закрепить ее верхний конец, а к нижнему приложить закручивающие силы, создающие закручивающий момент относительно продольной оси, то проволока испытает деформацию кручения. При этом любой радиус, проведенный в ее нижнем сечении, повернется вокруг оси на угол j (рис.1).

 

 

Закон Гука для деформации кручения имеет вид:

М = f×j, (1)

где М - момент силы, приложенной к проволоке, а f- постоянная для данной проволоки величина, называемая модулем кручения. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки:

, (2)

где G- модуль сдвига, l - длина проволоки, r - ее радиус. (Вывод этой формулы смотри в [11, 14]). Модуль сдвига G является характеристикой вещества и связан с модулем Юнга E через коэффициент Пуассона m соотношением:

E = 2×(1 + m)×G. (3)

Здесь mравен отношению относительной поперечной деформации Dr/r при растяжении к относительной продольной деформации Dl/l. Таким образом, определив модуль кручения f, можно найти модуль сдвига G и модуль Юнга E.

Если к нижнему концу проволоки прикрепить массу (например рамку с грузом), повернуть ее на некоторый угол j относительно оси проволоки, а затем отпустить, то в такой системе возникнут крутильные колебания, которые описываются углом поворота jрадиуса-вектора, проведенного в нижнем сечении проволоки (стержня). При небольших амплитудах j₀ колебания будут гармоническими, и описываются уравнением:

j = j₀×Sin(w₀×t + a). (4)

Здесь w₀ =2×p/T - циклическая частота свободных колебаний (угловая скорость), Т - период колебаний, a - начальная фаза, t - время.

Уравнение динамики вращательного движения будет иметь вид:

, (5)

где M - момент сил, I- момент инерции системы, e - ее угловое ускорение.

Т.к. M = - j×f= - f×j₀×Sin(w₀×t + a) (см. формулу 1 и 4), то из уравнения (5) следует, что

f = I×w₀² или f = (4×p²/T²)×I. 6)

Т.о., модуль кручения f можно найти, измеряя период крутильных колебаний.

Для определения модуля кручения проволоки используется установка, основным элементом которой является рамка, закрепленная с помощью двух проволок П(рис. 2).

Внутри рамки крепится сменный металлический цилиндр Ц, который совершает крутильные колебания вместе с рамкой. Время колебаний t определяется электрическим секундомером, вмонтированным в установку вместе со счетчиком периодов n. Период колебаний находится как Т = t/n. Меняя цилиндр, мы, тем самым, меняем массу m и момент инерции I всей системы и, следовательно, период колебанийT. Согласно (6) для одной и той же проволоки, когда f = const, имеем:

I₁×w₀₁² = I₂×w₀₂² или I₁/I₂ = T₁²/T₂². (7)

Здесь I₁ и I₂ - моменты инерции для двух различных цилиндров. Момент инерции системы I складывается из момента инерции цилиндра массы m и радиуса R, относительно его оси симметрии I = 1/2×m×R² и момента инерции рамки I₀ . Для первого и второго цилиндров они имеют вид:

I₁ = I₀ + 1/2×m₁×R₁²

I₂ = I₀ + 1/2×m₂×R₂². (8)

Исключив величину I₀ в уравнениях (8) и используя выражение (7), выразим величины I₁ и I₂ в следующем виде:

. (9)

Здесь Т₁ и Т₂ - периоды колебаний маятников с первым и вторым цилиндром соответственно. Используя выражения (6) и (9), получим формулу для модуля кручения системы:

. (10)

В лабораторной установке рамка крепится двумя проволоками одинаковой длины. Модуль кручения одной проволоки f_п будет в два раза меньше, чем двух f_п = f_с /2. С учетом этого из (2) и (10) получим выражение для модуля сдвига G:

(11)

Используя табличное значение коэффициента Пуассона m (для cтали m=0,23-0,31), можно определить по формулам (2) и (11) модуль Юнга E.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Один раз взвесить цилиндры, измерить массы.

2. Измерить 5 раз штангенциркулем радиусы цилиндров.

3. Измерить длину проволок от точки закрепления до рамки l₁ и l₂. Принять за l их среднее значение <l> = (l₁ + l₂)/2.

4. Измерить диаметр d проволоки микрометром.

5. Закручивая рамку с цилиндром на заданный в пределах (40° - 100°) угол, определить время 10 колебаний системы с первым цилиндром. Вычислить T₁. Измерения проводить 5 раз для выбранного угла.

6. Повторить измерения для системы со вторым цилиндром согласно пункту 5.

Таблица 1

	l1	l2	R1 (м)	T1 (c)	R2 (м)	T2 (c)	d
1. 2. 3. 4. 5.								m1= кг   m2= кг
	<l>=		<R1>	< T1>	<R2>	< T2>	<d>

 

7. Вычислить по формуле (11) модуль сдвига G.

8. Приняв коэффициент Пуассона m = 0,29, вычислить по формуле (3) модуль E.

9. Сравнить модуль сдвига G и модуль Юнга E с табличными значениями для сталей и сделать вывод.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какие бывают виды деформации? Чем отличается кручение от других видов деформаций?

2. Записать закон Гука для деформации кручения.

3. От чего зависит модуль кручения?

4. Чему равен момент инерции маятника? Из чего он складывается?

5. Что такое деформация сдвига G?

6. Что такое коэффициент Пуассона m?

7. Как связаны модуль сдвига и модуль Юнга?

8. Как и почему будет изменятся w₀ с ростом массы цилиндра