Тема 3. Электромагнитная индукция. Работа
И энергия в электростатическом и магнитном полях.
Задача 3.1. По двум гладким медным шинам, установленным вертикально в однородном магнитном поле B скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы m, которая замыкает электрическую цепь, приведенную на рисунке. Расстояние между шинами l. Сопротивления шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти закон движения перемычки Y(t) при условии, что начальная скорость, ток через индуктивность и заряд на конденсаторе равны 0, Y(0)=Y0.
L C L
 |  | ||||||||||||
 |  |  |  | ||||||||||
 | |||||||||||||
B B B
R R C
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
 |  | ||||||||
Y Рис.3.1.1 Рис.3.1.2 Рис.3.1.3
L C L
 |  | ||||||||||
 |  |  | |||||||||
 | |||||||||||
R R C
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
 |  | ||||||||
B B B
 | |||||
 | |||||
 | |||||
0 Рис.3.1.4 Рис.3.1.5 Рис.3.1.6
Таблица 3.1.1 Номера вариантов и значения параметров L, R, C для соответствующего номера рисунка.
| N вар. | L | C | R | № Рис. |
| Lo | --- | BlÖ(L /m) | 3.1.1 | |
| --- | Co | R0 | 3.1.2 | |
| Lo | Co | --- | 3.1.3 | |
| Lo | --- | 3.1.1 | ||
| Lo | --- | Ro | 3.1.4 | |
| --- | Co | Ro | 3.1.5 | |
| Lo | Co | --- | 3.1.6 | |
| Lo | --- | 4BlÖ(L /m) | 3.1.1 | |
| Lo | --- | (Bl/4)Ö(L /m) | 3.1.4 |
Задача 3.2.1 По двум гладким медным шинам скользит перемычка массы m, закон движения которой задан Y = f(t). Сопротивление перемычки равно Ro, поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0. Сверху шины замкнуты электрической цепью, состоящей либо из конденсатора ёмкости С, либо из индуктивности L или из сопротивления R в соответствии с рисунком. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном переменном магнитном поле с индукцией B (t), перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ток через индуктивность, конденсатор и сопротивление в начальный момент времени равен 0.
Найти:
- закон изменения тока I (t);
- максимальное значение тока I max;
- закон изменения проекций силы Лоренца на ось X (Fлx) и на ось Y (Fлy), действующей на электрон;
- закон изменения напряженности электрического поля в перемычке E(t);
- силу F(t), действующую на перемычку, необходимую для обеспечения заданного закона движения;
- установить связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующей на все электроны в перемычке.
Z
L C R
X
B B B
Ro Ro Ro
 | |||||||
 |  |  |
Y Рис.3.2.1 Рис.3.2.2 Рис.3.2.3
Закон движения перемычки для всех вариантов Y = a exp(- nt);
Закон изменения магнитного поля для нечетных вариантов ВZ = c exp(- mt),
для четных вариантов ВZ = -c exp(- mt). Константы a и c считать известными.
Построить зависимости тока через перемычку (I(t) / I max), силы Ампера (Fa (t)/Famax).
Таблица 3.2.1. Номера вариантов и значения параметров n, m для соответствующего номера рисунка.
| N вар | n | m | № Рис. |
| 2Ro/L | 2n | 3.2.1 | |
| 2m | 2Ro/L | 3.2.1 | |
| Ro/2L | 2n | 3.2.1 | |
| 2m | Ro/2L | 3.2.1 | |
| 2m | 2/RoC | 3.2.2 | |
| 2/RoC | 2n | 3.2.2 | |
| 1/2RoC | 2n | 3.2.2 | |
| n | 2n | 3.2.3 | |
| 2m | m | 3.2.3 |
Задача 3.2.2. По двум гладким медным шинам скользит невесомая перемычка, к которой приложена переменная сила F (t). Сопротивление перемычки равно Ro, поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0. Перемычка замыкает электрическую цепь, состоящую либо из конденсатора ёмкости С, либо из индуктивности L или из сопротивления R, в соответствии с рисунком. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном переменном магнитном поле с индукцией В (t), перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ускорение перемычки в начальный момент времени конечно, а положение ее определено и равно Y(0) =Y0.
Найти:
- закон изменения тока I(t);
- закон движения перемычки Y = Y(t);
- максимальное значение Ymax;
- законы изменения проекции силы Лоренца на ось X (Fлx) и на ось Y (Fлy), действующей на электрон;
- закон изменения напряженности электрического поля в перемычке E(t);
- установить связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующей на все электроны в перемычке.
- построить зависимости тока через перемычку (I(t) / I max), Y(t)/Y(0).
Z
L C R
X
B B B
Ro Ro Ro
| |||||||
| | |
Y Рис.3.2.4 Рис.3.2.5 Рис.3.2.6
Закон изменения силы для всех вариантов FY = -f exp (-nt);
Закон изменения магнитного поля для нечетных вариантов ВZ = c exp(- mt),
для четных вариантов ВZ = -c exp(- mt),
Константы f и c считать известными.
Таблица 3.2.2 Номер вариантов и значения параметров n, m для соответствующего номера рисунка.
| N вар. | n | m | № Рис. |
| n | 2n | 3.2.4 | |
| 2m | m | 3.2.4 | |
| n | 3n | 3.2.4 | |
| 3m | m | 3.2.4 | |
| 2m | m | 3.2.5 | |
| n | 2n | 3.2.5 | |
| n | 3n | 3.2.5 | |
| n | 2n | 3.2.6 | |
| 2m | m | 3.2.6 |
Задачи для индивидуальной подготовки.
Задача 3.3.1. В плоский воздушный конденсатор с квадратными пластинами (l x l), расстояние между которыми d (d<<l), медленно вдвигают с постоянной скоростью V квадратную металлическую пластину того же размера и толщиной d1. Конденсатор подключен к электрической цепи, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком.
Задача 3.3.2. В плоский воздушный конденсатор с квадратными пластинами (l x l), расстояние между которыми d (d<<l), медленно вдвигают с постоянной скоростью V квадратную диэлектрическую пластину того же размера и толщиной d с диэлектрической проницаемостью e. Конденсатор подключен к электрической цепи, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком.
 |  |  | |||||||||
 | |||||||||||
 | |||||||||||
 | |||||||||||
R
 |
e R e
 |  | ||||||
 | |||||||
 | |||||||
Рис.3.3.1 Рис.3.3.2.
Пренебрегая краевыми эффектами во всех задачах определить:
1. Закон изменения заряда на конденсаторе q = q(t).
2. Закон изменения силы тока I(t), протекающего через сопротивление R.
3. Энергию, выделившуюся на сопротивлении R за время движения.
В предположении, что в схеме на рисунке 3.3.1. R = ¥, для всех задач определить:
4. Работу, совершенную за время движения пластин внешними силами.
5. Работу, совершенную источником.
6. Изменение энергии конденсатора.
Таблица 3.3.1 Номера вариантов и соотношения параметров d1/d для соответствующего номера рисунка и номера задачи.
| N вар | d1/d | № рис. | № Зад. |
| ½ | 3.3.1 | 3.3.1 | |
| 1/3 | 3.3.2 | 3.3.1 | |
| ½ | 3.3.1 | 3.3.2 | |
| 1/3 | 3.3.2 | 3.3.2 |
Задача 3.3.3. Длинный соленоид радиуса R0 с числом витков N имеет сердечник с магнитной проницаемостью m, плотно вставленный в него на всю длину. Соленоид постоянно подключен к электрической схеме, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком. Длина соленоида l >>R0. Сердечник медленно извлекают из соленоида с постоянной скоростью V.
Задача 3.3.4. Длинный соленоид радиуса R0 с числом витков N имеет сердечник выполненный из сверхпроводника радиуса R0/Ö 2, вставленный в него на всю длину. Соленоид подключен к электрической схеме, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком. Длина соленоида l >>R0. Сердечник медленно извлекают из соленоида с постоянной скоростью V.
Задача 3.3.5. Длинный воздушный соленоид радиуса R0 имеет число витков N. Соленоид подключен к электрической схеме, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком. Длина соленоида l >>R0. Соленоид медленно растягивают на 1/10 его длины с постоянной скоростью V. Считать, что радиус соленоида остается при этом постоянным.
Во всех задачах сопротивление соленоида считать пренебрежимо малым в сравнении с r и R. В задачах условие которых соответствует рисунку 3.3.5, исследуемый процесс начинается одновременно с переключением ключа К из положения 1 в положения 2.
V V V
 |  |  | |||||||
 |  | ||||||||
R R 2
 | |||||
 | |||||
 | |||||
e R e e
K
1
Рис.3.3.3 Рис.3.3.4 Рис.3.3.5
Пренебрегая краевыми эффектами во всех задачах определить:
1. Закон изменения тока через соленоид I(t).
В предположении, что в схеме на рисунке 3.3.3. R = ¥, для всех задач определить:
2. Работу, совершенную за время движения внешними силами над сердечниками или соленоидом.
3. Силу, необходимую для извлечения сердечника или растягивания соленоида с заданной скоростью.
4. Изменение энергии соленоида.
| N вар. | № рис. | № Зад. |
| 3.3.3 | 3.3.3 | |
| 3.3.4 | 3.3.3 | |
| 3.3.5 | 3.3.3 | |
| 3.3.3 | 3.3.4 | |
| 3.3.4 | 3.3.4 | |
| 3.3.5 | 3.3.4 | |
| 3.3.3 | 3.3.5 | |
| 3.3.4 | 3.3.5 | |
| 3.3.5 | 3.3.5 |
