Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками и выводы из него. Квантование энергии частицы

Потенциальной ямой называется область пространства, внутри которой потенциальная энергия частицы принимает значения меньшие, чем в какой-либо точке на ее границе.

Пусть частица может двигаться только вдоль оси OX, и ее потенциальная энергия зависит от координаты x следующим образом (рис.16):

(12)

 

Область (0, b) по определению есть потенциальная яма. По понятной причине такую потенциальную яму называют прямоугольной. Параметр b будем называть шириной потенциальной ямы.

В этом параграфе будет рассмотрен предельный случай потенциала (12):

(13)

то есть случай, когда "стенки" ямы имеют бесконечную высоту. Найдем общее решение уравнения Шредингера (5) и энергетический спектр частицы.

Потенциальная энергия (12) не зависит от времени, поэтому решение уравнения Шредингера сводится к решению амплитудного уравнения (11):

(14)

(в одномерном случае оператор Лапласа D превращается во вторую производную ).

Необходимо, чтобы решение уравнения (14) обладало свойствами, перечисленными в теореме: непрерывностью и нормируемостью. Непрерывности производной требовать не нужно: в предельном случае (13) потенциальная энергия имеет в точках x=0, x=b разрывы II рода.

Разобьем ось OX на три области: (-¥,0), (0, b), (b,¥). Их нумерация ясна из рис.16. Найдем решения уравнения (14) для областей I, II, III.

Начнем с областей I и II, где П(x)=П_о. Поделим (14) на П_о:

Перейдем в этом уравнении к пределу П_о ® ¥. Получим

=0. (15)

Таким образом, в предельном случае (13) волновая функция в областях I и III равна нулю, следовательно, частица не может проникнуть в эти области.

Перейдем к области II. Теперь П(x)=0. Введем обозначение

. (16)

Тогда уравнение (14) примет вид

Это уравнение имеет решение

(17)

где A и B - произвольные коэффициенты. Равенства (15), (17) означают, что решение уравнения (14) имеет вид

(18)

Эта функция будет непрерывна в точках x=0 и x=b, если выполняются условия

. (19)

С учетом (15), (17) равенства (19) принимают вид

(20а)

Ввиду равенства коэффициента B нулю второе из условий (20а) преобразуется в

A sin(kb) = 0. (20б)

Коэффициент A не может быть равен нулю, поскольку тогда волновая функция (18) будет равна нулю тождественно. Поэтому обращаться в нуль должен синус. Это имеет место при

(21)

где n=1,2,3... - целое число. Значение n = 0 не годится, так как в этом случае k = 0, что совместно с (20а) приводит к обращению волновой функции (18) в нуль.

Теперь из (16) и (21) получаем допустимые значения энергии

(22)

составляющие в совокупности энергетический спектр.

Отметим два простых соотношения. Во-первых, энергия любого энергетического уровня легко выражается через энергию первого уровня:

(23)

Во-вторых, зазор DE_n (то есть разность энергий двух соседних уровней E_n и E_n+1) принимает значения

(24)

и растет при увеличении числа n.

Из формул (22), (23), (24) следует:

1. Энергия квантовой частицы в потенциальной яме принимает только дискретные значения.

2. Минимальная возможная энергия больше нуля, то есть выше дна потенциальной ямы (рис. 2,а).

3. При уменьшении ширины ямы или массы частицы энергии всех уровней увеличиваются. Одновременно возрастают и зазоры между уровнями.

Условия непрерывности (19) позволили определить допустимые значения энергии и коэффициент B. С учетом полученных формул (20а), (21) волновая функция (18) принимает вид

(25)

Оставшийся пока неопределенным коэффициент A находится из условия нормировки

После подстановки в это условие формулы (44), получим

Выполнив интегрирование, найдем . Фаза комплексного числа А остается произвольной. Можно считать A=½A½.

 

3. Графики волновых функций и плотности вероятности для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Рис. 2

 

Графики волновых функций Y_n(x) для первых трех энергетических уровней представлены на рис.2,б. Отметим, что графики состоят из нескольких полуволн на интервале (0,b), причем число полуволн всегда совпадает с номером уровня. Длина волны связана с параметром k:

.

Это соотношение показывает, что величина k имеет смысл волнового числа.

Плотность вероятности обнаружения частицы в стационарных состояниях описывается функциями , графики которых при n = 1, 2, 3 изображены на рис.2,в. Видно, что при фиксированном n (и, следовательно, энергии E_n), вероятность обнаружения частицы распределена по интервалу (0,b) неравномерно и обращается в нуль за его пределами.

Сравним полученные результаты с поведением классической частицы в потенциальной яме. Во-первых, классическая частица в прямоугольной потенциальной яме может иметь любую энергию E ³ 0, в том числе и нулевую. Во-вторых, поскольку при фиксированной энергии частицы скорость ее движения между двумя столкновениями со стенками ямы постоянна, то и вероятность ее обнаружения должна быть равномерно распределена по интервалу (0,b). Оба эти свойства не выполняются для квантовых частиц.

Примером потенциальной ямы может служить область вблизи атомного ядра, где потенциальная энергия электрона меняется согласно формуле

,

Рис. 3

 

то есть в центре энергия меньше, чем на периферии (рис. 3) (Z – количество протонов в ядре, e – заряд электрона). Аналогично ведет себя потенциальная энергия электрона вблизи атома акцепторной смеси в полупроводнике.

 

Заключение

Нашли общее решение уравнения Шредингера в стационарном случае в общем виде и для частного случая частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, получили результаты для энергетического спектра частицы. Проанализировали полученное решение уравнения Шредингера в частном случае.

 

 

Разработал ст. преподаватель кафедры

кандидат физ.-мат. наук Долматова О.А.

 

 

Рецензировал доцент кафедры

кандидат физ.-мат. наук Исмагилов Р.Г.