Колебания, которые совершаются под воздействием переменной силы, называются вынужденными.

где r –коэффициент сопротивления. Учитывая только силу сопротивления (13) и силу упругости (1) согласно II закону Ньютона для уравнения движения получим:

, (14)

. (15)

Разделив правую и левую часть (15) на m и обозначив k/m = , а r/m = 2β, получим:

или . (16).

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

к² + 2b·к + w = 0 имеет корни . (17)

Из (17) видно, что движение будет колебательным, только если b² < w . При этом условии корни (17) будут комплексными числами и решением уравнения (16) будет периодическая функция. Представим корни (17) в виде:

, где .

Теперь решением уравнения (16) будет функция:

s= е^-βt(С₁cosωt + C₂sinωt).

Заменяя С₁ и С₂ через другие постоянные А₀ и φ₀ такие, что С₁ = А₀cosφ₀, а С₂ = А₀sinφ₀ окончательно получим:

s = А₀е^−βtcos(ωt + φ_○) (18).

Это уравнение свободных затухающих колебаний, график которых представлен на рис.5. Как видно амплитуда свободных затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону:

А = А₀ е^−βt, (19)

(рис.5, пунктирная линия). Круговая частота этого колебания w = , а период Т = 2π / . Как видно, ни частота, ни период затухающих колебаний не равны соответствующим параметрам собственных колебаний системы.

Для описания быстроты затухания колебаний используют три взаимосвязанные величины: коэффициент затухания – β, декремент затухания – δ и логарифмический декремент затухания – λ. Коэффициент затухания b = , [b] = 1/с. Декремент затухания –

(20)

и логарифмический декремент затухания

l = ℓ n d = ℓnе^βТ = βТ. (21)

Вопрос 8.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания, которые совершаются под воздействием переменной силы, называются вынужденными.

Рассмотрим колебания под воздействием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону: F = F_○соsω _в t. (22)

С учетом квазиупругой силы (1) и силы сопротивления (13) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется:

. (23) Разделив правую и левую часть на m, и обозначив:, , , после перегруппировки слагаемых, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (24)

Решением этого уравнения будет функция:

s = Acos(ω _в t + φ₀). (25)

Это уравнение установившихся вынужденных колебаний. Здесь:

, (26)

. (27)

Колебания, происходящие под воздействием гармонической вынуждающей силы спустя некоторое время, тоже становятся гармоническими (рис. 6). Их частота равна частоте вынуждающей силы ω _в.

Из выражения (26) для амплитуды видно, что ее значение зависит от соотношения частоты вынуждающей силы ω_в и собственной частоты колебательной системы ω_о. Очевидно, если подкоренное выражение будет минимально, то амплитуда вынужденных колебаний достигнет своего максимального значения. Исследование на экстремум дает: -2(ω₀² – ω_в²) ·2ω_в + 8β²ω_в = 0, ω_в² - ω₀² + 2β² = 0, что будет иметь место, если

. (28)

Амплитуда при этом достигает значения:

А_рез = . (29)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной сис-темы получило название резонанса, а соответствующая частота вынуждающей силы – резонансной частотой колебаний.

Приведенные на рис.7 графики, которые называют резонансными кривыми, отличаются значением коэффициента затухания, действующего в колебательной системе. С уменьшением значения β, резонансные кривые становятся все острее, а величина А_рез все больше. Теоретически при β → 0 частота ω_рез→ ω₀, а амплитуда А → ∞.

Резонанс может иметь как полезные, так и вредные последствия. В одних случаях он может вызвать разрушение, и это приходится учитывать при конструировании мостов, самолетов, высотных домов. В других случаях, наоборот, стремятся создать условия для резонанса, например, при изготовлении музыкальных инструментов, в радиотехнике и т.д.