Релятивистский закон сложения скоростей.

Вопрос 56.

Ньютоновская механика справедлива только для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, Эйнштейн создал релятивистскую механику, т.е. механику, учитывающую требования специальной теории относительности.

Основу спец. Теории относительности, созданной Эйнштейном в 1905 году, образуют два постулата, которые носят названия принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света.

Принципа относительности Эйнштейна является распространением механического принципа Галилея.

лея.

 

Переход от первой инерциальной системы к другой с помощью преобразований Галилея не меняет вид уравнений, описывающих законы механики. Уравнения инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.

Принцип относительности: уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от данной инерциальной системы отсчета к другой.

Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Классический закон сложения скоростей гласит, что скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (результирующая) равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

 

Вопрос 57.

Постулаты специальной теории относительности (СПО)

1) Все законы природы, а также уравнения их описывающие, одинаковы во всех ИСО. Переход от одной системы к другой осуществляется с помощью преобразования Лоренца. Тогда говорят, что все уравнения инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца.

2) Скорость света не зависит от движения источника света и одинакова во всех ИСО.

 

 

 

Относительность одновременности.

Причиной несостоятельности классических представлений о пространстве и времени является неправильное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую.

Два любых события в точках А и В, одновременные в системе К1 не одновременны в системе К. Но в силу принципа относительности системы К1 и К совершенно равноправны. Ни одной из этих систем нельзя отдать предпочтение. Поэтому мы вынуждены прийти к заключению, что одновременность пространственно разделенных событий относительна. Причиной относительности одновременности является конечность скорости распространения сигналов.

Вопрос 58.

(части вопросов повторяются)

 

Последняя формула для вычисления длины тела в системе, относительно которой тело движется - следствие из преобразований Лоренца.

L_o-собственная длина отрезка (тела).

Собственное время.

 

Вопрос 59.

Релятивистский закон сложения скоростей.

Рассмотрим движение материальной точки. В системе К положение точки определяется в каждый момент времени t координатами x,y,z.

Проекции на оси вектора скорости точки относительно системы К:

V_x=dx/dt; v_y=dy/dt; v_z=dz/dt

Аналогично в системе К’: V_x’=dx’/dt’; v_y’=dy’/dt’; v_z’=dz’/dt’

Из преобразований Лоренца следует, что dx=dx’+v₀dt’/√1-v₀²/c²

dy=dy’; dz=dz’; dt=dt’+(v₀/c²)dx’/√1- v₀²/c²

разделив первые три равенства на четвертое, получим формулы преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой:

Если v₀<<c, то соотношения переходят в формулы сложения скоростей классической механики.

Если тело движется параллельно оси х, его скорость относительно системы К совпадает с v_x, а скорость v’ относительно системы К- с v’_x, то закон сложения скоростей имеет вид v=v’+v₀/1+(v₀v’/c²)

Если v’=c, то получается v=c.

Это не противоречит постулату СТО.

Вопрос 60.

Второй закон Ньютона для скоростей, значительно меньших скорости света, записывается как р=mv=m*dr/dt

Предположим, что выражение для импульса имеет вид

Р=mf(u)v, где f(u)-некая безразмерная функция, которая в первом выражении должна равняться 1.

Рассмотрим абсолютно упругое соударение двух одинаковых тел массой m в системе Кс их центра инерции. В этой системе суммарный импульс частиц равен нулю. Следовательно, скорости частиц одинаковы по модулю и противоположны по направлению.

Перейдем от системы Кс к системе К, относительно которой частица 1 движется параллельно оси у.

Закон сохранения импульса выполняется и в системе К, следовательно игриковая компонента суммарного импульса частиц должна оставаться неизменной.

Аналитически это запишется так:

Для нахождения связи между u и w рассмотрим соударение в системе К’.

В этой системе игрековая компонента v’_y начальной скорости частицы 2 равна w, а иксовая компонента равна v’_x нулю. В системе К v_y начальной скорости частицы 2 равнa u. v₀ систем К’ и К равна v. Итак,

v_y=u; v’_y=w; v’_x=0; v₀=v

подставив все в формулу для v_y получим

 

Пусть w (а значит и u) много меньше с, в то время как v порядка с. Тогда f(w) можно положить равной 1, а √v²+u² считать равным v. Саму v можно рассматривать не как составляющую скорости по оси х, а как модуль скорости частицы. В этом случае

 

Подстановка этого выражения в формулу Р=mf(u)v приводит к релятивистскому выражению для импульса: