Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника»

Лабораторная работа 2

«Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника»

 

Выполнила студентка 2-го курса 120810/1 группы Учреждение образования «Международный Государственный Экологический Университет имени Андрея Дмитриевича Сахарова»

Мойсак Т.С.

Руководитель: Лабус Ирина Нигматовна

 

Минск – 2012

Лабораторная работа

Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника

Цель работы: определить величину ускорения свободного падения, пользуясь математическим маятником.

Принадлежности: стальной шарик на нити, штатив, секундомер, штангенциркуль, металлическая линейка.

Колебания

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени.

При колебаниях математического маятника (рис. 1) колеблющимися физическими величинами будут угол αотклонения нити от вертикали, координаты маятника x и y, расстояние вдоль траектории (по дуге окружности) от т. А до т. О и т. д

Колебательные процессы встречаются в разнообразных физических явлениях и широко распространены в окружающем пас мире. Несмотря на то, что колебания могут иметь различную физическую природу, они часто подчиняются одним итем же закономерностям, описываются одинаковыми математическими формулами и уравнениями. Это позволяет с единой точки зрения математически описать отличающиеся по физической природе колебания.

Периодические колебания

Колебания некоторой физической величины S называются периодическими, если все значения этой величины полностью повторяются через одно и то же время Τ, называемое периодам, т. е. S(t + Τ) = S(t) для любого значения времени t. Если Τ – период, то 2Т, 3Т, 4Τ,... тоже периоды. Поэтому в физике под периодом обычно понимают наименьший период, т. е. наименьший отрезок времени, через который физическая величина S повторяется. При этом говорят, что за время одного периода совершается одно колебание.

Частотой периодических колебаний ν называется число колебаний в единицу времени. Легко показать, что

.

Действительно, если за время t совершено N колебаний, то частота , а период . Отсюда видно, что . В системе СИ единицей измерения частоты служит Герц (Гц), 1 Гц = с -1.

Пусть периодически колеблющаяся величина S изменяется в пределах от S 0А до S 0+ А, где А > 0. Тогда говорят, что величина S колеблется с амплитудой А около значения S0. Размах колебаний (разница между двумя крайними положениями) равен .

Гармонические колебания

Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т. е. такие изменения во времени t физической величины S, которые идут по закону

, (1)

где А > 0, ω > 0. Из курса математики известно, что функция вида (1) меняется в пределах от – А до А, и что наименьший положительный период у нее . Поэтому гармоническое колебание вида (1) происходит с амплитудой А и периодом .

Не следует путать циклическую (круговую) частоту ω ичастоту ν колебаний.

Между ними простая связь. Так как и , то

.

В системе СИ размерность как ω, таки ν равна с-1. Наименование Гц обычно применяется только для величины ν, а если необходимо указать размерность ω, то пишут просто с-1.

Величина называется фазой колебаний. Фаза растет пропорционально времени. При t = 0 фаза равна , и поэтому называется начальной фазой. Она зависит от отклонения и скорости в момент начала отсчета времени.

Отметим, что при одном и том же t: , где n=0, ±1, ±2, … Видно, что начальная фаза для одного и того же колебания есть величина, определенная с точностью до 2 πn. Поэтому из множества возможных значений начальной фазы выбирают обычно значение начальной фазы наименьшее по модулю или наименьшее положительное.Колебания вида

и , (2)

где а и γмогут быть любого знака, с помощью простых тригонометрических преобразований всегда приводятся к виду (1), причем А = |а|, ω = | γ |, а не равно вообще говоря. Таким образом, колебания вида (2) являются гармоническими, с амплитудой |а| и циклической частотой | γ |. Не приводя общего доказательства, проиллюстрируем это на конкретном примере.

Пусть требуется показать, что колебание будет гармоническим и найти амплитуду А, циклическую частоту ω, период Τ и начальную фазу .

Действительно, . Видим, что колебание величины S удалось записать в форме (1). При этом А = 16, ω = 20π, , .

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Пусть некоторая физическая величина S совершает гармонические колебания (1). Легко показать, что вторая производная по времен от S равна . С учетом (1) получаем, что , т.е.

. (3)

Итак, можно сделать вывод: если величина S изменяется по гармоническому закону (1), то отсюда следует справедливость равенства (3). В математике показывается и обратное: если для величины S = S(t) справедливо равенство (3) при всех допустимых значениях t, то S(t) имеет только вид (1) и никакой другой. Причем А и в (1) есть произвольные постоянные, конкретные значения которых зависят от так называемых начальных условий, т. е. от значений S и ее производной S' в некоторый момент времени t (обычно при t = 0 ).

Равенство (3) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Мы получили чрезвычайно важное утверждение:

если с помощью законов физики для физической величины S удалось записать дифференциальное уравнение вида , то отсюда будет следовать, что S изменяется обязательно, по гармоническому закону с циклической частотой (). Конкретные значения амплитуды А и начальной фазы зависят от начальных условий.

Заметим, что в (3) стоит величина , которая всегда положительна. Поэтому, например, уравнение не будет дифференциальным уравнением гармонических колебаний, т.к. не найдется такого действительного значения , для которого было бы равно «– 6».



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Пример создания логической ER-модели | КМОП-ТРАНЗИСТОРЫ И ИХ МИНИАТЮРИЗАЦИЯ
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-12-18; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 546 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Если президенты не могут делать этого со своими женами, они делают это со своими странами © Иосиф Бродский
==> читать все изречения...

2444 - | 2317 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.