Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника»

Лабораторная работа 2

«Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника»

 

Выполнила студентка 2-го курса 120810/1 группы Учреждение образования «Международный Государственный Экологический Университет имени Андрея Дмитриевича Сахарова»

Мойсак Т.С.

Руководитель: Лабус Ирина Нигматовна

 

Минск – 2012

Лабораторная работа

Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника

Цель работы: определить величину ускорения свободного падения, пользуясь математическим маятником.

Принадлежности: стальной шарик на нити, штатив, секундомер, штангенциркуль, металлическая линейка.

Колебания

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени.

При колебаниях математического маятника (рис. 1) колеблющимися физическими величинами будут угол αотклонения нити от вертикали, координаты маятника x и y, расстояние вдоль траектории (по дуге окружности) от т. А до т. О и т. д

Колебательные процессы встречаются в разнообразных физических явлениях и широко распространены в окружающем пас мире. Несмотря на то, что колебания могут иметь различную физическую природу, они часто подчиняются одним итем же закономерностям, описываются одинаковыми математическими формулами и уравнениями. Это позволяет с единой точки зрения математически описать отличающиеся по физической природе колебания.

Периодические колебания

Колебания некоторой физической величины S называются периодическими, если все значения этой величины полностью повторяются через одно и то же время Τ, называемое периодам, т. е. S(t + Τ) = S(t) для любого значения времени t. Если Τ – период, то 2Т, 3Т, 4Τ,... тоже периоды. Поэтому в физике под периодом обычно понимают наименьший период, т. е. наименьший отрезок времени, через который физическая величина S повторяется. При этом говорят, что за время одного периода совершается одно колебание.

Частотой периодических колебаний ν называется число колебаний в единицу времени. Легко показать, что

.

Действительно, если за время t совершено N колебаний, то частота , а период . Отсюда видно, что . В системе СИ единицей измерения частоты служит Герц (Гц), 1 Гц = с ^-1.

Пусть периодически колеблющаяся величина S изменяется в пределах от S ₀– А до S ₀+ А, где А > 0. Тогда говорят, что величина S колеблется с амплитудой А около значения S₀. Размах колебаний (разница между двумя крайними положениями) равен 2А.

Гармонические колебания

Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т. е. такие изменения во времени t физической величины S, которые идут по закону

, (1)

где А > 0, ω > 0. Из курса математики известно, что функция вида (1) меняется в пределах от – А до А, и что наименьший положительный период у нее . Поэтому гармоническое колебание вида (1) происходит с амплитудой А и периодом .

Не следует путать циклическую (круговую) частоту ω ичастоту ν колебаний.

Между ними простая связь. Так как и , то

.

В системе СИ размерность как ω, таки ν равна с^-1. Наименование Гц обычно применяется только для величины ν, а если необходимо указать размерность ω, то пишут просто с^-1.

Величина называется фазой колебаний. Фаза растет пропорционально времени. При t = 0 фаза равна , и поэтому называется начальной фазой. Она зависит от отклонения и скорости в момент начала отсчета времени.

Отметим, что при одном и том же t: , где n=0, ±1, ±2, … Видно, что начальная фаза для одного и того же колебания есть величина, определенная с точностью до 2 πn. Поэтому из множества возможных значений начальной фазы выбирают обычно значение начальной фазы наименьшее по модулю или наименьшее положительное.Колебания вида

и , (2)

где а и γмогут быть любого знака, с помощью простых тригонометрических преобразований всегда приводятся к виду (1), причем А = |а|, ω = | γ |, а не равно вообще говоря. Таким образом, колебания вида (2) являются гармоническими, с амплитудой |а| и циклической частотой | γ |. Не приводя общего доказательства, проиллюстрируем это на конкретном примере.

Пусть требуется показать, что колебание будет гармоническим и найти амплитуду А, циклическую частоту ω, период Τ и начальную фазу .

Действительно, . Видим, что колебание величины S удалось записать в форме (1). При этом А = 16, ω = 20π, , .

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Пусть некоторая физическая величина S совершает гармонические колебания (1). Легко показать, что вторая производная по времен от S равна . С учетом (1) получаем, что , т.е.

. (3)

Итак, можно сделать вывод: если величина S изменяется по гармоническому закону (1), то отсюда следует справедливость равенства (3). В математике показывается и обратное: если для величины S = S(t) справедливо равенство (3) при всех допустимых значениях t, то S(t) имеет только вид (1) и никакой другой. Причем А и в (1) есть произвольные постоянные, конкретные значения которых зависят от так называемых начальных условий, т. е. от значений S и ее производной S' в некоторый момент времени t (обычно при t = 0 ).

Равенство (3) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Мы получили чрезвычайно важное утверждение:

если с помощью законов физики для физической величины S удалось записать дифференциальное уравнение вида , то отсюда будет следовать, что S изменяется обязательно, по гармоническому закону с циклической частотой (). Конкретные значения амплитуды А и начальной фазы зависят от начальных условий.

Заметим, что в (3) стоит величина , которая всегда положительна. Поэтому, например, уравнение не будет дифференциальным уравнением гармонических колебаний, т.к. не найдется такого действительного значения , для которого было бы равно «– 6».