Лабораторная работа 2
«Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника»
Выполнила студентка 2-го курса 120810/1 группы Учреждение образования «Международный Государственный Экологический Университет имени Андрея Дмитриевича Сахарова»
Мойсак Т.С.
Руководитель: Лабус Ирина Нигматовна
Минск – 2012
Лабораторная работа
Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника
Цель работы: определить величину ускорения свободного падения, пользуясь математическим маятником.
Принадлежности: стальной шарик на нити, штатив, секундомер, штангенциркуль, металлическая линейка.
Колебания
Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени.
При колебаниях математического маятника (рис. 1) колеблющимися физическими величинами будут угол αотклонения нити от вертикали, координаты маятника x и y, расстояние вдоль траектории (по дуге окружности) от т. А до т. О и т. д
Колебательные процессы встречаются в разнообразных физических явлениях и широко распространены в окружающем пас мире. Несмотря на то, что колебания могут иметь различную физическую природу, они часто подчиняются одним итем же закономерностям, описываются одинаковыми математическими формулами и уравнениями. Это позволяет с единой точки зрения математически описать отличающиеся по физической природе колебания.
Периодические колебания
Колебания некоторой физической величины S называются периодическими, если все значения этой величины полностью повторяются через одно и то же время Τ, называемое периодам, т. е. S(t + Τ) = S(t) для любого значения времени t. Если Τ – период, то 2Т, 3Т, 4Τ,... тоже периоды. Поэтому в физике под периодом обычно понимают наименьший период, т. е. наименьший отрезок времени, через который физическая величина S повторяется. При этом говорят, что за время одного периода совершается одно колебание.
Частотой периодических колебаний ν называется число колебаний в единицу времени. Легко показать, что
.
Действительно, если за время t совершено N колебаний, то частота 
, а период 
. Отсюда видно, что . В системе СИ единицей измерения частоты служит Герц (Гц), 1 Гц = с -1.
Пусть периодически колеблющаяся величина S изменяется в пределах от S 0– А до S 0+ А, где А > 0. Тогда говорят, что величина S колеблется с амплитудой А около значения S0. Размах колебаний (разница между двумя крайними положениями) равен 2А.
Гармонические колебания
Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т. е. такие изменения во времени t физической величины S, которые идут по закону
, (1)
где А > 0, ω > 0. Из курса математики известно, что функция вида (1) меняется в пределах от – А до А, и что наименьший положительный период у нее 
. Поэтому гармоническое колебание вида (1) происходит с амплитудой А и периодом 
.
Не следует путать циклическую (круговую) частоту ω ичастоту ν колебаний.
Между ними простая связь. Так как 
и , то
.
В системе СИ размерность как ω, таки ν равна с-1. Наименование Гц обычно применяется только для величины ν, а если необходимо указать размерность ω, то пишут просто с-1.
Величина 
называется фазой колебаний. Фаза растет пропорционально времени. При t = 0 фаза равна 
, и поэтому называется начальной фазой. Она зависит от отклонения и скорости в момент начала отсчета времени.
Отметим, что при одном и том же t: 
, где n=0, ±1, ±2, … Видно, что начальная фаза для одного и того же колебания есть величина, определенная с точностью до 2 πn. Поэтому из множества возможных значений начальной фазы выбирают обычно значение начальной фазы наименьшее по модулю или наименьшее положительное.Колебания вида
и 
, (2)
где а и γмогут быть любого знака, с помощью простых тригонометрических преобразований всегда приводятся к виду (1), причем А = |а|, ω = | γ |, а не равно 
вообще говоря. Таким образом, колебания вида (2) являются гармоническими, с амплитудой |а| и циклической частотой | γ |. Не приводя общего доказательства, проиллюстрируем это на конкретном примере.
Пусть требуется показать, что колебание 
будет гармоническим и найти амплитуду А, циклическую частоту ω, период Τ и начальную фазу .
Действительно, 
. Видим, что колебание величины S удалось записать в форме (1). При этом А = 16, ω = 20π, 
, 
.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Пусть некоторая физическая величина S совершает гармонические колебания (1). Легко показать, что вторая производная по времен от S равна 
. С учетом (1) получаем, что 
, т.е.
. (3)
Итак, можно сделать вывод: если величина S изменяется по гармоническому закону (1), то отсюда следует справедливость равенства (3). В математике показывается и обратное: если для величины S = S(t) справедливо равенство (3) при всех допустимых значениях t, то S(t) имеет только вид (1) и никакой другой. Причем А и в (1) есть произвольные постоянные, конкретные значения которых зависят от так называемых начальных условий, т. е. от значений S и ее производной S' в некоторый момент времени t (обычно при t = 0 ).
Равенство (3) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
Мы получили чрезвычайно важное утверждение:
если с помощью законов физики для физической величины S удалось записать дифференциальное уравнение вида , то отсюда будет следовать, что S изменяется обязательно, по гармоническому закону с циклической частотой 
(
). Конкретные значения амплитуды А и начальной фазы зависят от начальных условий.
Заметим, что в (3) стоит величина 
, которая всегда положительна. Поэтому, например, уравнение 
не будет дифференциальным уравнением гармонических колебаний, т.к. не найдется такого действительного значения , для которого было бы равно «– 6».
