Основными элементарными функциями считаются: степенная функция 
, показательная функция 
, логарифмическая функция 
, тригонометрические функции 
, обратные тригонометрические функции 
.
Определение 1.9. Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом арифметических операций и конечным числом операций образования сложных функций.
Пример 1.7. Приведём примеры элементарных функций
При изучении различных процессов, происходящих в природе, встречаются
функции, для аналитического задания которых недостаточно одной формулы.
Пусть цилиндрическое тело сначала скатывается вниз по наклонной
плоскости, затем некоторое время движется по горизонтальному пути, а затем
снова поднимается вверх по наклонной плоскости. Будем считать, что трение
отсутствует. Во время движения цилиндра вниз его скорость увеличивается,
при качении по горизонтальной поверхности скорость остается постоянной.
Подъем цилиндра вверх по наклонной плоскости приводит к уменьшению его
скорости движения.
Функции, описывающие такое изменение скорости от координаты, записываются
несколькими формулами для разных интервалов изменения независимой переменной.
Если обозначить скорость цилиндра при скатывании с горки через 
, при качении по горизонтали через 
, при подъёме на горку через 
, то зависимость между скоростью и координатой 
можно записать функцией
(1.3)
Такие функции называются неэлементарными.
Пример1.8. Вычислить значения функции 
в указанных точках: 
.
Решение. Вычислим 
. Так как значение аргумента 
, то 
вычисляем по формуле 
. Следовательно 
.
Вычислим 
. Так как значение аргумента 
, то вычисляем по формуле . Следовательно 
.
Вычислим 
. Так как значение аргумента 
, то вычисляем по формуле 
. Следовательно 
.
Аналогично 
.
Монотонные функции
Определение 1.10. Функция 
называется возрастающей на интервале 
, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если 
.
Определение 1.11. Функция называется убывающей на интервале , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если
.
Функции, убывающие или возрастающие на интервале, называются монотонными функциями.
Пример 1.9. Доказать, что функция 
является убывающей.
Решение. Данная функция задана при 
. Проверим для неё определение 1.11.
Согласно определению возьмем произвольные аргументы 
и
рассмотрим разность значений функции в этих точках 
Оба сомножителя отрицательные величины. Следовательно, их произведение величина положительная и тогда 
. По определению 1.11 данная функция убывающая.
С ростом значения уменьшаются.
Пример 1.10. Доказать, что функция 
возрастающая.
Решение. Функция задана в области 
. Возьмем произвольные 
. Сравним значения функции в этих точках
Следовательно, функция возрастающая.
Четные и нечетные функции
Определение 1.10. Функция четная, если выполняются два условия:
1) Область задания функции симметрична относительно начала координат.
Это означает, что если 
, то и 
.
2) Выполняется соотношение 
.
Пример 1.11. Показать, что функция 
четная.
Решение. Проверим определение 1.10
1) Так как область задания данной функции 
симметрична относительно начала координат, то первое условие выполнено.
2) проверим второе условие 
Следовательно, функция четная.
Определение 1.11. Функция нечетная, если выполняются два условия:
1) Область задания функции симметрична относительно начала координат.
Это означает, что если , то и .
2) Выполняется соотношение 
Пример1.12. Показать, что функция 
нечетная.
Решение. Проверим определение 1.11
1) Так как область задания данной функции симметрична относительно начала координат, то первое условие выполнено.
2) проверим второе условие 
Следовательно, функция нечетная.
Периодические функции
Определение 1.12. Функция 
называется периодической на
множестве 
, если существует такое число 
, что выполняются условия:
1) Если , то 
2) 
для любого .
Минимальное число , обладающее свойствами 1 и 2, называется
периодом функции.
Пример1.13. Функции 
--- периодические функции с периодом 
.
Функции 
--- периодические функции с периодом 
.
Пример1.14. Найдем периоды функций 
Решение. Будем использовать тригонометрические тождества
Пусть 
. Область задания данной функции . Обозначим искомый период буквой 
. Первое условие определения 1.12 , выполняется, так как бесконечный интервал. Найдём число , чтобы выполнялось равенство для всех
Равенство 
должно выполняться при любых 
. Это возможно только тогда, когда 
. Следовательно, 
и наименьшее положительное число получаем при 
.
Вывод. Период функции равен .
Пусть 
. Область задания данной функции . Обозначим искомый период буквой . Первое условие определения 1.12 , выполняется, так как бесконечный интервал. Найдём число , чтобы выполнялось равенство для всех
Равенство 
должно выполняться при любых . Это возможно только тогда, когда 
. Следовательно, 
и наименьшее положительное число получаем при .
Вывод. Период функции равен 
.
Пусть 
. Область задания данной функции . Обозначим искомый период буквой . Первое условие определения 1.121 , выполняется, так как бесконечный интервал. Найдём число , чтобы выполнялось равенство для всех
Равенство 
должно выполняться при любых . Это возможно только тогда, когда 
. Следовательно, 
и наименьшее положительное число получаем при .
Вывод. Период функции равен 
.
На рисунке приведены эскизы графиков функций 
Обратные функции
Пусть задана функция с областью задания и областью значений 
. Пусть существует функция 
с областью задания и областью значений . Функции
и называются взаимно обратными функциями, если одновременно выполняются тождества
(1.4)
Пример 1.15. Функции 
-взаимно обратные функции. Действительно из школы известны тождества
, которые и являются определяющимися тождествами (1.4). Следовательно, функции
взаимно являются взаимно обратными функциями.
