Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости. Характерные скорости молекул: средняя и средняя квадратичная, наиболее вероятная.

Распределение Максвелла (функция распределения молекул идеального газа по скоростям).

Максвелл исходил из естественного предпо ложения о том, что число моле кул dN_u, скоро сти которых попадают в интервал от u до u + du, пропорционально общему числу N молекул и ширине интервала du скоростей, зависит от значения скорости u, вблизи которой берется интервал du, то есть: dN_u = f(u)×N×du, где f(u) - коэффициент пропорциональности, зависящий от значения скорости и называемый функцией распределения вероятностей молекул по значениям скорости. Он имеет смысл вероятности, отнесённой к ширине интервала значе ний величины (в данном случае – скорости): f(u) = dN_u/Ndu = dР/du, где: dР = dN_u/N - вероятность того, что скорость молекулы находится в интервале значений от u до u + du. Функция же распределения f(u) = dР/du есть плотность вероятности, т. е. удельная
(в расчёте на единичный интервал значений величины) вероятность, уже не завися щая от ширины интервала, и являющаяся функцией только значений самой величины (скорости, применительно к распределению Максвелла). В состоянии термодинамического равновесия функция распределения не зависит от времени и выражает устойчивое распределение вероятно стей тех или иных значений статистической величины, характеристики макросистемы.

Для функции распределения справедливо условие нормировки, формально заключаю щееся в равенстве единице интеграла от неё по всей области зада ния её аргумента:

Это условие выражает собой вероятность достовер ного собы тия, а именно того, что соответствующая величина (в распределе нии Максвелла это скорость) хотя бы каким то значением обладает. Естествен но, что вероятность такого события равна 100 %, т. е. единице.

Так как наглядный геометрический смысл интеграла от функции - площадь фигуры между графиком функции и осью ее аргумента, то условие нормировки требует, чтобы эта площадь при всех изменениях, происходящих с функцией распреде ления, оставалась неизмен ной.

Максвеллом были получены следующие выражения для функций распределения молекул идеального газа по скоростям их теплового /хаотического/ движения:

а/ по проекции скорости: f(u_х) = (m_о/2pkТ)^1/2×

б/ по модулю скорости: f(u) = (m_о/2pkТ)^3/2×× ×4pu²

где: m_о - масса молекулы, k = 1,38×10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана.

Абсолютная температура Т играет роль параметра функции распределения.

Для разных температур кривые функции распределения Максвелла по проек ции и по модулю скорости имеют следующий вид:

 

В силу равноправия положительного и отрицательного направлений движения вдоль
любой оси функция распределения Максвелла, по проекции скорости ока зывается симметрич ной относительно нулевого значения проекции (у нас – u_х), на которое и приходится её макси мум. Это объясняется вкладом, боль шого числа молекул, движущихся вдоль двух других осей (Z и U), т. е. пер пендикулярнооси Х, c u_х = 0.

Максимум функции распределения Максвелла по модулю скорости приходится на значение, называемое наивероятнейшей скоростью u_нв, которое можно опреде­лить исходя из условия экстремума функции распределения: при u = u_нв, df/du = 0 Þ u_нв = Ö(2kТ/m_о) = Ö(2RТ/М).

Наивероятнейшая скорость однозначно определяется температурой, будучи пропорцио нальной ей. Температура здесь выступает в роли параметра, опре деляющего характерные черты функции статистического распределения молекул идеального газа по скоростям их теплового движения. Интуитивное представ ление о температуре как мере "нагретости" тела приобретает здесь следую щую конкретизацию: температура и "нагретость" тела определяются наиболее вероятными значениями скоростей внутреннего хаотического движения молекул, будучи пропорциональными им. Более нагретое тело обладает в среднем более быстро движущимися молекулами. График функции распределения вероятностей скоростей теплового движения у более нагретого тела сдвинут вправо, в область больших скоростей.

В целом рост температуры приводит к понижению обеих функций распределе ния (по проекции и по модулю скорости) по максимуму (высоте) и одновре менному расширению, расплыванию максимума, так что площади под кривыми для разных температур должны оста ваться неизменными (в силу условия нормиро вки). Температура, таким образом, выступает здесь и мерой разброса (дис персии) значений скорости во всё большем интервале значений. При нулевой темпера туре, согласно классической статистике Максвелла, тепловое движение прекра щается, функция распределения стягивается в вертикальную линию с единст венно допустимым нулевым значением скорости: u_х = 0 и u = 0 [f(u) = d(u) = 0, при u ¹ 0].

Функция статистического распределения важна тем, что с её помощью можно

вычислять средние (статистически усредненные) значения любых величин, являющихся функ циями её аргуме нта. Так, распределение Максвелла по модулю скорости позво ляет определять такие важные статистические (усреднённые) характеристики теплового движе ния молекул, как среднюю арифметическую <u> и среднюю квадратичную u_кв ско рости моле кул:

<u> = (u₁ + u₂ + … + u_N)¤N = (1¤N) = (1¤N) = = Ö(8kТ¤pm_о) = Ö(8RТ¤pМ),

u_кв² = (u₁² + u₂² + … + u_N²)¤N = (1¤N) = (1¤N) = = (3kТ¤m_о) = (3RТ¤М) Þ u_кв = Ö<u²> = Ö(3kТ¤m_о) = Ö(3RТ¤М).

Как видно из выражений для наивероятнейшей, средней арифметической и среднеквадратической скоростей молекул идеального газа: u_нв = Ö(2kТ/m_о), <u> = Ö(8kТ¤pm_о) и u_кв = Ö(3kТ¤m_о) их значения соотносятся как u_нв: <u>: u_кв = 2: 8/p: 3 = 1: 1,13: 1,22. Несовпадение максимума распределения с его средним значением говорит о несимметричности функции распределения. Тот факт, что среднее значение скорости смещено вправо (в область больших значений) по сравнению с наиболее вероятным (приходящимся на максимум функции распределения), говорит о том, что больше молекул движутся со скоростями превышающими наивероятнейшую, то есть площадь под функцией распределения справа от максимума больше, чем слева.

Полученное выражение для квадрата среднеквадратичной скорости u_кв² = (3kТ¤m_о) позволяет дать температуре трактовку меры средней кинетиче ской энергии молекул идеального газа. Действительно, из него следует, что m_о<u²>/2 = 3kТ/2 – средняя кинетиче ская энергия молекулы (её поступательного движения), зависит только от температуры газа.

С приведённым выше соотношением можно связать и такой важный закон классической статистики, как закон равномерного распределения энергии по степеням свободы движения (ЗРРЭСС). Т. к. в поступательном движении имеется 3 сте пени свободы движения (под степе нями свободы здесь понимаются элемента рные, то есть простейшие, неразложимые далее движения) - вдоль трёх взаимно-перпендикулярных осей, то на одну степень свободы прихо дится энергия равная kТ/2.

В общем случае не одноатомной молекулы она может обладать ещё и степе нями свободы вращательного движения как целого и колебательного, если её атомы связаны упругими, нежё сткими силами. И тогда её полная кинетическая энергия, согласно ЗРРЭСС, выразится форму лой: Е_к = ikТ/2, где i - полное число степеней свободы движения молекулы. Для одного моля: Е_кМ = iRТ/2.

Для одноатомной молекулы (материальной точки) i = 3 - три степени свободы поступа тельного движения молекулы вдоль осей Х, U, Z.

Для двухатомной молекулы с жёстко связанными атомами к трём степеням свободы поступательного движения добавляются ещё две степени свободы вращательного движения -
вокруг осей перпендикулярных оси молекулы. Относительно оси молекулы - направления,
соединяющего её атомы, её момент инерции равен нулю, ибо атомы считаем точечными, и она не запасает кинетической энергии Е_к = Jw²/2. Соответственно у жесткой трёхатомной молекулы имеют место по 3 степени свободы как поступательного, так и вращательного движений. Если же связи между атомами молекулы носят нежёсткий, упругий характер, то нужно дополни тельно учитывать ещё и сте пени колебательного движения атомов относительно её центра масс.

В отличие от молекул идеального газа, молекулы реальных газов запасают наряду с кине тической энергией еще и потенциальную энергию.

В 1920 г. Штерн осуществил экспериментальную проверку распределения Максвелла
по модулю скорости. В качестве объекта исследования он взял пары атомов серебра, излучаемые нагреваемой эле ктрическим током платиновой посеребренной прово лочкой L, расположенной на оси двух коаксиальных цилиндров А и В. При синхронном вращении цилиндров на внутренней поверхности наружного цилиндра В изображение щели а, вырезанной во внутреннем цилиндре А и создаваемое пучком летя щих атомов серебра размывалось, что говорило о наличии в пучке атомов, летящих с разными скоростями. Пока атом серебра, летящий со скоростью u, проходит зазор между цилиндрами, равный R – r, они успевают повернуться на угол j = wt = w(R – r)/u. Смещение отпечатка-полоски серебра на поверхности наружного цилиндра на расстояние l = Rj = wR(R – r)/u оказывается зависящим от скорости атомов серебра.

По степени размытости отпечатка щели и толщине оса ждаемого слоя атомов Штерн оценил распределение молекул /атомов/ по ско ростям и получил хорошее согласие с распреде лением Максвелла.

В настоящее время вскрыт ограниченный характер справедливости выводов классиче ской статистики Максвелла и, в частности, закона равномерного распределения энергии по степеням свободы движения молекул и прекращения движения молекул при охлаждении тела до нулевой абсолютной температуры Т = 0 К. Обобщение классической статистики на эту и другие ситуации будет проведено в рамках квантовой механи ки. В ней вскрывается статисти ческая природа закономерностей движения не только макро коллективов, но и отдельных микрочастиц.