Визначення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин

Змістовний модуль № 1

самостійна робота студентів № 12 (47-48)

ТЕМА: Визначення добутку цілих невід’ємних чисел через декартів добуток множин

кількість годин: 2

 

студенти повинні знати:

– означення добутку цілих невід’ємних чисел;

– компоненти дії множення;

– закони множення.

студенти повинні вміти:

– виконувати множення цілих невід’ємних чисел;

– застосовувати закони множення з метою раціоналізації обчислень.

 

план

1. Означення добутку цілих невід’ємних чисел через декартів добуток множин.

 

Основна література

1. Кухар, В. М. Теоретичні основи початкового курсу математики [Текст]: навч. посібник для педучилищ / В. М. Кухар, Б. Л. Білий. – К.: Вища школа, 1987. – С. 178-188.
2. Основи початкового курсу математики [Текст]: навчально-методичний посібник / укл. Л. М. Голець, О. О. Кислякова, І. А. Ляшенко, О. Г. Онуфрієнко. – Запоріжжя, 2010. –

С. 64-66.

1. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст]: учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М.: Просвещение, 1988. – С. 142-147

 

Інтнрнет-ресурси

1. Множення і ділення цілих невід’ємних чисел [Електронний ресурс]: лекції // сайт «Пятифан»: студентських і учнівських робіт. – Режим доступу: http://5fan.ru/ wievjob.php?id=18287. – Назва з екрана.
2. Умножение и его свойства [Электронный ресурс]: теоретические материалы // сайт shkolo.ru. – Режим доступа: http://shkolo.ru/umnozhenie-i-ego-svoystva. – Название с экрана.

 

Методичні рекомендації студенту

до самостійної роботи

 

Користуючись зазначеною літературою, ознайомтесь із означенням добутку цілих невід’ємних чисел через декартів добуток множин.

Користуючись навчально-методичним матеріалом для самостійного опрацювання з теми ознайомтесь із теоремою 1 і теоремою 2 та їх доведеннями.

Обміркуйте та складіть план-конспект з питань, що виносяться на обговорення.

Виконайте вправи 1, 2 з підручника Стойлова Л. П. Основы начального курса математики на С. 143.

ЗАВДАННЯ І питання для самоперевірки

 

1. Що називається добутком двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин.
2. Як називаються компоненти при множенні?
3. Сформулюйте теорему (теорема 1), що добуток є цілим невід’ємним числом. Доведіть її.
4. Сформулюйте теорему (теорема 2) про існування добутку.
5. Доведіть теорему про існування добутку на множині цілих невід’ємних чисел.

 

форма контролю

 

1. Фронтальне опитування
2. Перевірка зошитів

 

Матеріал для самостійного опрацювання зданої теми студентами

 

Визначення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин

До означення добутку цілих невід’ємних чисел можна підійти через поняття декартового добутку множин. Нехай . Тоді складається з пар: , , , , , .

, , тоді . Отже, у випадку скінченних множин А і В маємо: .

Означення. Добутком цілих невід’ємних чисел а і b називається число елементів декартового добутку множини, що має а елементів, на множину, що має b елементів.

 

Операція множення цілих невід’ємних чисел у кількісній теорії пов’язана з декартовим множенням множин. Добутком довільних цілих невід’ємних чисел a і b (позначається a·b) називається потужність декартового добутку множин A і B, потужностями яких є відповідно числа a і b: " a, b Î N0: a·b:= |A ´ B|, де a = |A|, b = |B|.

Теорема 1. Означення добутку двох цілих невід’ємних чисел не залежить від вибору множин-представників.

► Нехай a і b – довільні цілі невід’ємні числа.

Якщо хоч одне з них дорівнює нулю, то в цьому випадку теорема очевидна. А тому будемо доводити теорему, коли числа a і b є натуральними.

Нехай a = |A| і b = |B|. Візьмемо довільні множини C і D такі, що A ~ C і B ~ D. За означенням рівнопотужності множин існують бієкції f: A → C i g: B → D. Розглянемо відношення φ між елементами множин A ´ B і C ´ D означене так: парі (x, y) Î A ´ B поставимо у відповідність пару (u, v) Î C ´ D, де u = f(x) i v = g(y). Неважко довести, що φ є бієкцією множини A ´ B на множину C ´ D, а тому A ´ B ~ C ´ D. Отже, a·b = |A ´ B| = |C ´ D|. ◄

Теорема 2. Добуток двох довільних цілих невід'ємних чисел є цілим невід’ємним числом. Він завжди існує і визначається однозначно.

► Спочатку доведемо, що добуток двох довільних цілих невід’ємних чисел є цілим невід'ємним числом.

Нехай a і b – довільні цілі невід’ємні числа, де a = |A| і b = |B|. Розглянемо різні випадки.

1. Принаймні одне з чисел a або b дорівнює нулю, тоді хоча б одна з множин A або B є порожньою множиною. Тоді порожньою множиною є і їх декартів добуток. Отже, за означенням добутку цілих невід’ємних чисел будемо мати a·b = |A ´ B| = |Æ| = 0.

2. Числа a і b є натуральними, причому одне з них, наприклад b = 1. Множини A та B непорожні і B, як одинична, матиме вид B = {y}. Розглянемо множини A ´ B і A та відношення φ між ними, визначене так: парі (x, y) Î A ´ B ставиться у відповідність елемент x множини A. Це відношення буде бієкцією множини A ´ B на множину A. Отже, A ´ B ~ A, а тому за означенням добутку a·b = |A ´ B| = |A| = a і добуток a·b є натуральним числом.

Аналогічно доводиться випадок, коли A є одиничною множиною.

3. Числа a і b є натуральними, відмінними від одиниці. Множини A і B є непорожніми, відмінними від одиничних. Множину B за властивостями скінченних множин можна розглядати як об’єднання одиничних множин, які попарно не перетинаються, тобто B = {y1} È {y2} È … È{yb}. Користуючись дистрибутивністю декартового множення відносно об’єднання множин, маємо A ´ B = (A ´ {y1}) È (A ´ {y2}) È … È (A ´ {yb}).

Кожна з множин у правій частині останньої рівності є скінченною множиною, бо вона рівнопотужна скінченній множині A. Але об’єднання скінченної сукупності скінченних множин є скінченною множиною, а тому і множина A ´ B є скінченною множиною, а її потужність є натуральним числом.

Отже, доведено, що добуток двох довільних цілих невід’ємних чисел є цілим невід’ємним числом.

Оскільки добуток цілих невід’ємних чисел не залежить від множин-представників, а декартів добуток довільних множин завжди існує і визначається однозначно, то й добуток двох цілих невід’ємних чисел завжди існує і визначається однозначно, і, в силу доведеного вище, є цілим невід’ємним числом.