релятивистский закон сложения скоростей

Пусть, например, в системе отсчета K' вдоль оси x' движется частица со скоростью Составляющие скорости частицы u'x и u'z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:

12. Кинетическая энергия релятивистской частицы: W=(m-m₀)c²

Полная энергия системы: W=mc²

Энергия покоя W=m₀c²

Взаимосвязь полной энергии и импульса

E ² = (mc ²)² + (pc)²

первый член в правой части этого выражения полная энергия E движущийся частицы, а второй член энергия покоя E ₀

13. Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета имеет вид:

где — масса тела, — ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта, — сумма всех внешних сил, действующих на тело, — переносное ускорение тела, —кориолисово ускорение тела.

Многообразие названий объясняется тем, что термин «сила инерции» применяется для описания трёх различных сил:

§ силы, которую удобно ввести при описании движения тела в неинерционной системе отсчёта («переносная сила инерции», «эйлерова сила инерции»^[8]);

§ силы-противодействия из третьего закона Ньютона («ньютонова сила инерции»^[9]);

§ фиктивной силы, применяющейся в принципе Д’Аламбера («даламберова сила инерции»^[9]).

переносной силой инерции, действующей на материальную точку массы m в неинерциальной системе отсчета, называется сила, равная произведению массы этой материальной точки на взятое с обратным знаком ее переносное ускорение

F_пер=m(-а_пер)

кориолисовой силой инерции, действующей на материальную точку массы m в неинерциальной системе отсчета, называется сила, равная произведению массы этой материальной точки на взятое с обратным знаком ее кориолисово ускорение:

F_кор=m(-а_кор)

14.Момент инерции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

15. Момент инерции тела относительно данной оси – физ. величина, равная сумме произведений масс n мат. точек тела на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси:

h_i — их расстояния от оси z

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Полый толкостенный цилиндр: J=mR²; Сплошной цилиндр или диск: J =1/2 mR ²

Прямой тонкий стержень: 1) через середину J=1/12mL² 2) через конец J=1/3mL²; Шар J=2/5mR²

16. Момент инерции материальной точки относительно оси - произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси.

Физ. смысл: масса является мерой инерции при поступательном движении тела, а при вращательном движении аналогом массы является момент инерции материальной точки или тела.

17. Момент импульса мат. точки относительно неподвижной оси – векторная величина, определяемая произведением радиус-вектора на импульс этой точки

Физический смысл момента импульса, как перемещения тела под воздействием линейно следующих во времени событий.

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе момент внешних сил равен нулю. (М=0) dL/dt=0; L=const

скорость изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил M, действующих на части этой системы. d L /dt= M.

18. Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

решение:

19. Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из материальной точки массой m и пружины.

Математическим маятником называется, материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле силы тяжести (или других сил.

Вывод формул

Пружинный маятник

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (F_ynp) (рис. 3, первый две силы на рис. а не указаны). Запишем второй закон Ньютона для случая, изображенного на рис. 3, б

0 Х: или

Рис. 3.

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний

находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

Математический маятник

На груз m математического маятника действуют сила тяжести (m⋅g) и сила упругости нити (F_ynp) (сила натяжения) (рис. 4). Ось 0 Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для случая, изображенного на рис. 4, б

Рис. 4.

Пусть x — длина дуги AB, следовательно, x = l ⋅θ, где угол θ выражен в радианах. Заметим, что при малых углах θ

Тогда

или

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний

находим, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

Тогда период колебаний маятника будет равен:

20. Физический маятник, твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса

Физический маятник — осциллятор (система, совершающая колебания), представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Приведённая длина — это условная характеристика физического маятника. Она численно равна длине математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника.

Приведённая длина вычисляется следующим образом:

где I — момент инерции относительно точки подвеса, m — масса, a — расстояние от точки подвеса до центра масс.

Для периода колебаний получаем формулу:

Здесь — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.