Обработка результатов эксперимента. Для того чтобы определить из экспериментальной зависимости t и h ускорение свободного падения надо обратиться к результатам теоретических моделей

Для того чтобы определить из экспериментальной зависимости t и H ускорение свободного падения надо обратиться к результатам теоретических моделей. Первые две модели дают связь t и H, выражаемую формулой (3)

. (14)

Аналогичное соотношение в рамках третьей модели имеет следующий вид

. (15)

Здесь, как и ранее, A=Ö2a и B=a₀/2.

Эти формулы показывают, что связь между результатами прямых измерений H и t неявная. Это неудобно при обработке эксперимента. Получить явную зависимость можно лишь для величин, которые являются результатами косвенных измерений, то есть рассчитанными по данным прямых измерений. В качестве таких величин можно выбрать, например

и . (16)

Тогда выражения (14) и (15) приобретут следующий очень простой вид

Y=AX. (17)

Y=AX+B. (18)

Это линейные зависимости и для их обработки широко используется метод наименьших квадратов.

Итак, теперь необходимо составить новые таблицы для величин X и Y, а также построить графики зависимостей Y от X. После этого можно приступить к определению параметров A и B.

Предположим, что экспериментальные результаты должны описываться формулой (17), то есть что справедлива первая или вторая модель. Параметр A в этой формуле можно определить так. Каждый опыт дает конкретное значение A_n=X_n/Y_n, где X_n и Y_n - значения величин X и Y, полученные в n -ом опыте. Индекс n у величины A показывает, что это значение A соответствует n -му опыту. Из значений A_n можно образовать среднеарифметическое , где p - общее число опытов.

Здесь следует отметить, что это самый простой, но не самый лучший способ определения A. В самом деле, пусть X есть величина, характеризующая условия опыта, которую мы знаем практически точно, а Y есть результат опыта, известный с погрешностью DY. Допустим, что эта погрешность одинакова во всех измерениях. Тогда ошибка в величине A_n, равная DY_n/X_n, тем больше, чем меньше X_n. Значит, определяя величину A, лучше ориентироваться на опыты с большим X_n. Иначе можно сказать, что значение A, вычисленное по формуле (22), не является наилучшей оценкой истинного A. Это есть следствие того, что величины A_n неравноточные.

Строго, задача о нахождении наилучшей оценки истинного значения A по данным эксперимента и известной зависимости Y=AX, ставится так. Необходимо найти такое значение A, при котором функция Y=AX наилучшим образом соответствует опытным данным. Рассмотрим подробнее смысл выражения "наилучшим образом".

Выберем за меру отклонения функции от экспериментальных данных для n -го опыта величину (Y_n-AX_n)². Почему именно эта величина, а не просто Y_n-AX_n? Ясно, что оба уклонения AX_n от Y_n нехороши: плохо, если A таково, что Y_n<AX_n, но также нехорошо, если A таково, что Y_n>AX_n. Если бы за меру отклонения мы взяли Y_n-AX_n, а затем стали бы находить сумму отклонений в нескольких опытах, то мы могли бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаков. Это, однако, вовсе не говорило бы, что взятая функция Y=AX хороша. Если за меру отклонения взять (Y_n-AX_n)², то такого взаимного уничтожения не будет, так как все величины (Y_n-AX_n)²>0.

Итак, в качестве меры общего отклонения S₀ в описании экспериментальных данных функцией Y=AX необходимо взять сумму мер отклонений для всех опытов, то есть

. (19)

Таким образом, функция Y=AX будет наилучшим образом соответствовать опытным данным, если S₀, то есть сумма квадратов отдельных отклонений, минимальна. Метод определения констант, входящих в формулу, из требования минимальности S₀, называется методом наименьших квадратов.

Величина S₀ является функцией от A, то есть S₀=S₀(A). Чтобы найти такое значение A₀, которое доставляет минимум функции S₀, то есть наилучшее значение A, необходимо, как известно, решить уравнение dS₀/dA=0. Используя (19), находим

или , (20)

что дает . (21)

Итак, подставляя в формулу (21) экспериментальные значения X и Y, приведенные в таблице, рассчитывается значение A₀, являющееся наилучшей оценкой истинного значения A.

Среднеквадратичное отклонение для A рассчитывается по формуле

. (22)

Для расчета доверительного интервала DA выбирается доверительная вероятность a и определяется коэффициент Стьюдента для числа измерений на единицу меньше проделанных опытов. Тогда DA= t_{a, p-1} × S_A

Зная A, нетрудно вычислить ускорение системы a=A²/2 и далее по формулам (2) или (6) получить численное значение ускорения свободного падения. Tак, если мы используем результаты первой модели, то для расчета g надо применить формулу (2). Нетрудно видеть, что тогда

. (23)

Погрешности всех величин, входящих в эту формулу известны. Погрешность g можно рассчитать как погрешность косвенных измерений

. (24)

Для более точного определения g используют выводы второй модели. Для вычисления g и Dg нетрудно получить формулы полностью аналогичные выражениям (23) и (24), только в них величина М должна быть заменена величиной M₀, а DM - на DM₀.

Рассмотрим теперь обработку экспериментальных данных с использованием результатов третьей модели. Согласно формуле (18) зависимость Y от X представляет собой прямую, не обязательно проходящую через начало координат. То есть, чтобы найти прямую, наилучшим образом соответствующую опытным данным, необходимо определить уже два параметра. В этом случае также можно применить метод наименьших квадратов. Мера общей ошибки S₀ при описании опытных данных функцией Y=AX+B дается формулой . Надо выбрать числа A и B так, чтобы величина S₀ была наименьшей.

Для этого поступим так. Если бы B было уже найдено, то S₀ зависело бы только от A, то есть S₀=S₀(A). Поэтому должно было бы быть

С другой стороны, если бы уже было найдено A, то должно было бы быть

Эти условия дают следующую систему уравнений для определения величин A и B:

или . (25)

Здесь введены обозначения: . Эти величины легко вычисляются по экспериментальным данным. Решая ее, получим

. (26)

Зная A и B, можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S, которое характеризует среднюю степень отклонения экспериментальных результатов от прямой AX+B.

. (27)

Среднеквадратичные отклонения величин A и B определяются по следующим формулам:

. (28)

Наконец, доверительные интервалы для A и B при выбранной доверительной вероятности a рассчитываются таким образом

. (29)

то есть коэффициент Стъюдента выбирается по таблице для эффективной вероятности (1+a)/2 и для числа точек на два меньшего, чем при обработке. Например, если надо найти доверительные интервалы при выбранной доверительной вероятности a=0,90 для параметров A и B, полученных при обработке 10 точек (p=10), то в формулу (29) должно подставляется значение коэффициента Стъюдента t_{0.95, 8}.

Для расчета величины ускорения свободного падения g и его погрешности Dg следует обратиться к квадратному уравнению (13). Запишем его в таком виде:

, где . (30)

Для расчета величин C и D всё известно. Погрешность этих величин можно рассчитать как погрешность косвенных измерений. Вывод формул для расчета погрешностей приведен в приложении, здесь же выпишем лишь окончательные выражения

. (31)

Величина земного ускорения g получается в результате решения квадратного уравнения (30) - , где величины C и D уже определены по известным значениям А и В. Теперь надо выбрать только знак перед корнем, который давал бы физически разумное значение земного ускорения. Погрешность Dg, трактуемая как погрешность косвенных измерений, рассчитывается по формуле

. (32)

Приведенные формулы позволяют определить значение g и его погрешностей Dg по экспериментальным результатам, полученным на машине Атвуда для всех рассмотренных моделей. Это надо проделать для всех трех серий, проведенных при разных значениях массы перегрузка m. Далее необходимо провести сравнение полученных значений g друг с другом и с табличным значением.