Основной закон динамики вращательного движения.

Момент инерции цилиндр(вывод), шара, стержня, полого цилиндра.

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R ₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

· Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:

I = (1/12)ml²,

· где l − длина стержня.
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:

I = (1/3)ml²

·
Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:

I = (2/5)mR².

Теорема Штейнера с выводом.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор можно расписать как разность двух векторов:

где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

11. Динамические характеристики вращательного движения: момент силы, момент импульса, работа, мощность, энергия при плоском движении.

Пусть материальная точка массыm вращается относительно оси ОО΄. Обозначим r - радиус-вектор, проведенный от оси вращения до точки приложения силы F (Рисунок 10).

Моментом силы F относительно оси вращения называется вектор M, равный векторному произведению радиус-вектора на вектор силы M = [r∙F] и направленный по оси вращения в сторону, определяемую по правилу правого буравчика

Модуль вектора момента силы равен M = F ∙ r ∙ sinα, где α - угол между векторами r и F.

Момент импульса. Моментом импульса материальной точки относительно оси вращения называется вектор L, равный векторному произведению радиуса-вектора r на вектор импульса P: L = [ r∙P] = [ r∙ m v ],где m, v - соответственно масса и вектор скорости точки. Направление L определяется по правилу правого буравчика. Модуль вектора L = mv∙ r∙ sinα, где α - угол между векторами r и v.

Работа момента силы — это мера воздействия момента силы на тело на данном пути (во вращательном движении). Она равна произведению модуля момента силы и угла поворота. Понятие работы представляет собой меру внешних воздействий, приложенных к телу на определенном пути, вызывающих изменения механического состояния тела.

Важным показателем, характеризующим быстроту совершения работы, является мощность силы – мера быстроты приращения работы силы. Мощность (N) характеризует работу по времени, в течение которого она производилась: N = DA / Dt = F*V.

кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений

Основной закон динамики вращательного движения.

Формулировка закона: Скорость изменения момента импульса относительно полюса равна главному моменту силы относительно того же полюса, т.е.