Момент инерции цилиндр(вывод), шара, стержня, полого цилиндра.
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R 1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
· Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:
I = (1/12)ml2,
· где l − длина стержня.
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:
I = (1/3)ml2
·
Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (2/5)mR2.
Теорема Штейнера с выводом.
Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела 
относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела 
относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела 
на квадрат расстояния 
между осями:
где
— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
— искомый момент инерции относительно параллельной оси,
— масса тела,
— расстояние между указанными осями.
Вывод
Момент инерции, по определению:
Радиус-вектор 
можно расписать как разность двух векторов:
,
где 
— радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:
Вынося за сумму , получим:
Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:
Тогда:
Откуда и следует искомая формула:
,
где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
11. Динамические характеристики вращательного движения: момент силы, момент импульса, работа, мощность, энергия при плоском движении.
Пусть материальная точка массыm вращается относительно оси ОО΄. Обозначим r - радиус-вектор, проведенный от оси вращения до точки приложения силы F (Рисунок 10).
Моментом силы F относительно оси вращения называется вектор M, равный векторному произведению радиус-вектора на вектор силы M = [r∙F] и направленный по оси вращения в сторону, определяемую по правилу правого буравчика
Модуль вектора момента силы равен M = F ∙ r ∙ sinα, где α - угол между векторами r и F.
Момент импульса. Моментом импульса материальной точки относительно оси вращения называется вектор L, равный векторному произведению радиуса-вектора r на вектор импульса P: L = [ r∙P] = [ r∙ m v ],где m, v - соответственно масса и вектор скорости точки. Направление L определяется по правилу правого буравчика. Модуль вектора L = mv∙ r∙ sinα, где α - угол между векторами r и v.
Работа момента силы — это мера воздействия момента силы на тело на данном пути (во вращательном движении). Она равна произведению модуля момента силы и угла поворота. Понятие работы представляет собой меру внешних воздействий, приложенных к телу на определенном пути, вызывающих изменения механического состояния тела.
Важным показателем, характеризующим быстроту совершения работы, является мощность силы – мера быстроты приращения работы силы. Мощность (N) характеризует работу по времени, в течение которого она производилась: N = DA / Dt = F*V.
кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений
Основной закон динамики вращательного движения.
Формулировка закона: Скорость изменения момента импульса относительно полюса равна главному моменту силы относительно того же полюса, т.е.
