II. Описание экспериментальной установки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение свойств физического маятника, их применение для определения величины g.

Приборы и принадлежности: физический маятник, электронный секундомер.

 

I. Теоретическое введение

Физическим маятником (ФМ) является любое твердое тело, совершающее периодическое движение вблизи положения равновесия. В частном случае МФ может быть твердое тело, способное свободно вращаться вокруг оси подвеса О ¢ О ¢, не проходящей через центр масс тела (точка С на рис. 1). Если колебания такого тела происходят в пределах малых углов отклонения от вертикали q, то величина силы, возвращающей маятник в положение равновесия, линейно зависит от величины смещения от положения устойчивого равновесия. Тогда частота и период колебаний не зависят от амплитуды колебания ФМ, и колебательный процесс называют гармоническим. Так как движение ФМ происходит в гравитационном поле Земли, то величина возвращающей силы определяется характеристиками поля тяготения в месте расположения ФМ. Из школьного курса физики известна формула математического маятника Т _м

. (1)

Здесь - длина невесомой нити (или стержня) подвеса, равная расстоянию от оси вращения до центра тяжести тела массой m, принимаемого за материальную точку. Величина g определяет величину ускорения свободного падения. Как видно из (1), период математического маятника не зависит от массы m тела. Можно, однако, преобразовать (1) так, чтобы формула выражала период колебания физического маятника.

По определению, момент инерции материальной точки равен

I = m l². (2)

Тогда зависимость периода колебаний от момента инерции определится в виде

. (1, а)

В таком виде формула (1, а) применима также и для любого твердого тела – физического маятника, если понимать под I момент инерции I ₀ физического маятника относительно оси подвеса О ¢ О ¢, а обозначить расстояние от оси подвеса до центра масс тела

. (3)

Формула (3) выражает зависимость периода колебаний ФМ от его параметров (m, , I ₀) и ускорения свободного падения.

Физическому маятнику можно поставить в соответствие эквивалентный (по периоду колебаний) математический маятник. Если длина нити подвеса l_м математического маятника равна величине

, то Т _м = Т. (4)

Поэтому для характеристики свойств ФМ пользуются понятием его приведенной длины. Приведенная длина (l_пр) ФМ численно равна длине эквивалентного математического маятника, определяемой по (4).

Величина l_пр показывает, на каком расстоянии от оси подвеса находится характерная точка ФМ, называемая центром качания. Следует отметить, что центр качания ФМ не совпадает с центром масс. Центр качания (L) и точка подвеса (О) всегда расположены по разные стороны от центра масс ФМ (см. рис. 1). Центр качания и точка подвеса находятся во взаимном обратном соответствии: если точку подвеса перенести в центр качания, то центр качания в новом положении совпадает с прежней точкой подвеса (это следует из постоянства l_пр для данного ФМ).

Иногда можно определить положение центра качания ФМ расчетным путем по формуле (3), если известны масса, момент инерции и положение центра масс. Когда эти параметры заранее неизвестны, положение центра качания находится экспериментально. Для этого следует иметь одну точку подвеса закрепленной, а другую точку (или ось) подвеса перемещать вдоль линии ОС, проходящей через центр масс и фиксированную точку подвеса. Если подобрать у ФМ такое расположение двух параллельных осей подвеса, при котором период колебаний окажется одинаковым, то расстояние между осями будет равно l_пр. Определив величину приведенной длины физического маятника, можно рассчитать величину ускорения свободного падения

. (5)

Период Т ₀ соответствует положению двух осей подвеса, при котором он одинаков, т.е. не зависит от того, относительно какой из осей совершается колебание.

 

II. Описание экспериментальной установки

 

Для опытного определения g можно использовать оборотный маятник в виде стержня (рис. 2), на котором могут перемещаться и закрепляться в различных положениях две оси подвеса (призмы П ₁ и П ₂) и массивные грузы (чечевицы М ₁). Закрепив чечевицу и одну из призм, можно менять положение другой оси подвеса и сопоставлять периоды колебаний Т ₁ (около П ₁) и Т ₂ (около П ₂). Когда l станет равной l_пр, периоды Т ₁ и Т ₂ совпадут по величине: (Т ₁ = Т ₂ = = Т ₀). Однако для повышения точности измерений лучше иметь две жестко закрепленных (изготовленных как одно целое со стержнем) призмы подвеса, а положение центра тяжести и величину момента инерции маятника направленно изменять путем перемещения одного из грузов (М ₂). В соответствии с формулами (2), (4) при этом будет изменяться величина l_пр маятника. Когда положение центра качания совпадает с положением одной из призм (П ₂), периоды Т ₁ и Т ₂ станут равными по величине. Это будет означать, что расстояние соответствует l_пр и его следует измерить.

Таким образом, расстояние между неподвижными призмами П ₁ и П ₂ равно приведенной длине оборотного маятника только при таком положении подвижного груза S = S ₀, при котором Т ₁ = Т ₂ = Т ₀.

Следовательно, необходимо последовательно перемещать груз М ₂ по стержню на известные расстояния S и сравнивать периоды колебания маятника в его двух положениях (поворачивая маятник с одной призмы подвеса на другую). Чтобы уменьшить число проб и не пытаться случайным образом «попасть» в положение S ₀, рекомендуется определить это особое положение из графического сопоставления периодов Т ₁ и Т ₂ от величины S. Для этого необходимо установить зависимости Т ₁ = f ₁(S) и Т ₂ = f ₂(S), построить графики этих функций и найти их общую точку (т.е. точку пересечения). Зависимости Т ₁ (S) и Т ₂(S) – нелинейные. Однако при сравнительно небольших пределах изменения S их можно приближенно аппроксимировать прямыми линиями, проведенными по экспериментальным данным. Период Т ₀, соответствующий координате S ₀, можно определить по оси ординат или же (если позволяет время) можно определить экспериментально, установив подвижную чечевицу в положение S = S ₀ и выполнив измерения Т ₁₀ и Т ₂₀. Совпадение периодов (в пределах погрешности измерений) подтвердит правильность определения S ₀ по графикам.

 

ЗАДАНИЕ НА ПРОВЕДЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Установить маятник на опору П ₁ так, чтобы подвижный груз находился внизу. Зафиксировать груз в самом нижнем положении, условно принимаемом за нулевое (S ₁ = 0).

2. Легкими толчками привести маятник в колебание («раскачать качели») в пределах угла отклонения ±10°. С помощью электросекундомера измерить время за 10 полных колебаний и записать величину периода (за время одного полного колебания) в таблицу. Не останавливая маятника, повторить еще два раза измерения периода колебаний, как описано выше.

3. Остановить маятник, передвинуть груз на 2 см и провести серию трех измерений периода колебаний при новом S_i ¹ 0.

4. Выполнив измерения в положениях S = 0, 2, 4, 6 и 8, 10, 12 повернуть маятник на противоположную призму и выполнить измерения по пунктам 2–4, занося данные в таблицу 2.

5. Построить график зависимостей Т ₁(S) и Т ₂(S), проводя по экспериментальным точкам усредненные прямые и найти значение S ₀. Затем установить груз М ₂ в положение, соответствующее S ₀, и измерить периоды в 2-х положениях оборотного маятника.

6. По среднему арифметическому значению, полученному в п.5, по формуле (5), рассчитать величину ускорения свободного падения тел.

Рекомендуем следующую форму таблицы.

 

Маятник подвешен на опору П ₁

 

№ опыта	Периоды колебаний Т при Si, равном
	S = 0	S = 2см	S = 4см	S = 6см	S = 8см	S = 10см	S = S 0
Ср.зн.

Аналогичным образом заполняется таблица для случая, когда маятник подвешен на опору П ₂.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ И

ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБРТЫ

1. Что называют физическим маятником? Приведите примеры.

2. Какие величины влияют на период Т колебаний маятника? Имеются ли максимумы и минимумы графика у Т?

3. Каким образом диаметр стержня, по которому перемещаются чечевицы, влияет на период колебаний.

4. Маятник может совершать колебания в двух плоскостях. Как это влияет на точность измерений?

5. Известно, что период математического маятника не зависит от массы m. Получите формулу, в которую входит m. Объясните данное противоречие.

6. Как зависит период математического маятника от размеров тела, принимаемого за материальную точку?

7. Сформулируйте понятие приведенной длины физического маятника.

8. Как можно определить положение центра качания физического маятника?

9. Как зависит Т физического маятника от формы чечевицы? Ответ обосновать.

10. Докажите, что при амплитуде маятника больше чем 6¸8° период колебаний зависит от амплитуды колебаний.

11. Колебания физического маятника являются затухающими. Как это определить экспериментально?

12. Как влияет затухание на величину периода колебаний?

13. Предложите собственную конструкцию оборотного маятника. Предложения необходимо обосновать!

14. Как можно уменьшить (конструктивно) трение оси подвеса? Ответ обосновать.

15. В каком случае периоды Т ₁ и Т ₂ совпадают? С какой точностью должно быть реализовано совпадение?

16. Каким образом уменьшают число «проб» для определения S ₀?

17. Зависимости Т (S) являются нелинейными. Почему их аппроксимируют прямыми линиями?

18. Определите, как влияет размер шарика на подвесе и его масса на частоту колебаний w. Оцените относительную погрешность Dw/w при условии пренебрежения размерами шарика.

19. Нарисуйте график теоретической зависимости Т (S), изменяя S в больших пределах (S = 0,4¸0,8 м).

20. Каким методом нужно (можно) измерять период колебаний физического маятника? Предложите способ экспериментального автоматического определения периода колебаний.

21. Предложите схему устройства для определения числа колебаний физического маятника.

22. Как влияет форма Земли на величину ускорения свободного падения g?

23. Рекомендуют несколько раз измерять периоды колебаний маятника, не останавливая его. Почему? Ответ обосновать.

24. Как влияет масштаб графика Т (S) на точность измерений?

25. Рассчитайте кинетическую энергию физического маятника (ФМ) для любого произвольного положения чечевицы, если известен начальный угол отклонения ФМ a₀.