Расчет по уравнениям Кирхгофа

Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Расчет ЭЦ представляет собой определение величин и направлений токов в ветвях, напряжений на элементах ветвей, мощности в отдельных участках цепи и её элементах, при заданных сопротивлениях всех элементов цепи и известных источниках ЭДС и генераторах тока.

Методы расчета ЭЦ можно условно разбить на две группы. Первая основана на составлении системы уравнений, описывающих состояние цепи, и её решении. Вторая включает методы, в которых расчет сложных цепей сводится к расчету простых. Далее будут проанализированы следующие методы расчета.

Первая группа: - по уравнениям Кирхгофа; - метод контурных токов; - метод узловых потенциалов.

Вторая группа: - метод наложения (суперпозиции); - метод эквивалентного генератора.

Расчет по уравнениям Кирхгофа

Для расчета составляется система уравнений состояния относительно искомых токов ветвей, для чего используются I и II законы Кирхгофа. Полагается, что схема содержит m_в ветвей и N узлов.

Порядок расчета включает следующие процедуры:

- обозначение токов ветвей (направление токов выбирается произвольно);

- нумерация узлов схемы;

- составление n_у = N-1 независимых уравнений по I закону Кирхгофа;

- выбор независимых контуров обхода числом m_к = m_в - n_у по нижеуказанным правилам:

· контур обхода не должен содержать ветвь с источником тока (ИИТ);

· выбирать контуры обхода так, чтобы в них входили все ветви схемы, а в каждом было возможно меньшее число ветвей;

· после выбора первого контура одна из ветвей его разрывается;

· выбирается второй замкнутый контур и одна из его ветвей разрывается, и т. д. до тех пор, пока не останется замкнутых контуров обхода;

- составление m_к уравнений по II закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров обхода.

Система уравнений оформляется в виде таблицы 3.1 с целью удобства записи системы в программе MATCAD. Табл. 3.1

Токи Уравнения	I₁	I₂	…	I_m_в	Правая часть уравнения


…
m_в

Если полученные значения токов имеют отрицательное значение – это означает, что первоначально выбранное направление токов противоположно истинному.

Пример 5

Рассчитать токи ветвей схемы рис.3.1. методом применения законов Кирхгофа.

Рис.3.1 Схема

Дано:

Е₁, В	Е₂, В	J, А	R₁, Ом	R₂, Ом	R₃, Ом	R₄, Ом	R₅, Ом
		0,2

Расчет:

1. Обозначение узлов и ветвей.

2. Анализ схемы: схема содержит 4 узла и 6 ветвей, причем ток в ветви между узлами 1-3 известен и равен J.

3 Составление системы пяти уравнений.

3.1. Выбираем три независимых узла (1, 2, 4) (потенциал узла 3 полагаем равным нулю) и два независимых контура обхода.

3.2. Уравнения по I з. К.:

J – I₁ – I₃ = 0, I₁ – I₂ – I₅ = 0, I₅ + I₄ + I₃ = 0

4.3. Уравнения по II з. К.:

I₁ R₁ + I₅ R₅ – I₃ R₃ = E₂, I₅ R₅ – I₄ R₄ – I₂ R₂ = E₁

5. Составление таблицы.

Токи Уравнения	I₁	I₂	I₃	I₄	I₅	Правая часть
	-1		-1			-J
		-1			-1

			-60
		-150		-70

6. Результаты расчета в MATCAD:

I₁, А	I₂, А	I₃, А	I₄, А	I₅, А
0,607	0,042	-0,407	-0,158	0,565

Знак(-) свидетельствует о противоположном выбранному направлению тока.

3.2. Метод контурных токов

Метод основан на использовании II закона Кирхгофа. В результате решения системы m_к уравнений определяются условные (контурные) токи, протекающие по направлениям независимых контуров обхода. Истинные же токи ветвей получаются как сумма или разность контурных токов. Поскольку при расчете исключаются уравнения по I закону Кирхгофа, метод целесообразно применять при большом количестве узлов в схеме ЭЦ.

Если в схеме ЭЦ имеются источники тока (ИИТ), то их действие учитывается следующим образом: полагают, что ток J ИИТ замыкается по каким-либо ветвям, тогда в левую часть контурного уравнения добавляется слагаемое Jr_ветви со знаком «+», если направление контурного тока совпадает с направлением тока J, со знаком «-», если направления токов не совпадают. Для удобства решения системы контурных уравнений слагаемое Jr_ветви обычно перемещают в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный.

Пример 6

Рассчитать токи ветвей схемы рис.3.2. методом контурных токов.

Дано:

Е₁, В	Е₂, В	J, А	R₁, Ом	R₂, Ом	R₃, Ом	R₄, Ом	R₅, Ом
		0,2

Расчет:

1. Составление системы из двух уравнений по II з. К.:

I_К1 (R₁ + R₅ + R₃)+ I_К2 R₅= E₂,+ J R₃

I_К₁ R₅ + I_К₂(R₂+ R₄+ R₅) = E₂ - E₁- J R₄

2. Составление таблицы.

Токи Уравнения	I_К1	I_К2	Правая часть

3. Результаты расчета в MATCAD:

I_К1, А	I_К2, А
0,607	-0,042

4. Расчет токов ветвей:

I₁ = I_К₁ = 0,607, I₂= I_К₂ = 0,042, I₃= I_К₁ – J =0,407, I₄= I_К₂ +J= 0,158 I₅= I_К₁ + I_К₂ = 0,565

3.3. Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на использовании I закона Кирхгофа. Число уравнений таким образом рано числу независимых узлов (n_у = N-1). Если это число меньше числа независимых контуров, то метод МУП предпочтительнее метода контурных токов.

Связь тока ветви с потенциалами её узлов. Рассмотрим схему ветви рис.3.3.

Применим II закон Кирхгофа для условного контура обхода: IR – U₁₂ = E, отсюда следует, что величина тока связана с потенциалами узлов следующим выражением:

I = (3.1)

Проведем анализ схемы рис.3.4 с целью получения системы уравнений относительно искомых потенциалов узлов, полагая, что узел 4 – опорный и имеет потенциал равный нулю. Потенциал узла 3 определять нет необходимости, т.к. ветвь 1-3 содержит ИИТ. Для узла 1, согласно I закона Кирхгофа можно записать:

I₁₂ - I₂₁ + I₁₃ + I₁₄ = 0. (3.2)

Используя формулу (3.1), выражение (3.2) можно представить в виде:

или

. (3.3)

Основываясь на выражении (3.3) можно сформулировать алгоритм составления узлового уравнения дл k -того узла:

- левая часть уравнения представляет собой сумму слагаемых: первое – это произведение со знаком плюс потенциала k -того узла на сумму проводимостей ветвей, подключенных к этому узлу, остальные слагаемые, взятые со знаком минус, каждое, это произведение потенциала смежного узла на проводимость ветви, соединяющей этот узел с k -тым узлом;

- правая часть представляет собой сумму токов: источников тока (ИИТ), подключенных к k-тому узлу, а также токов в виде произведений величин источников напряжения (ИИН) на проводимости ветвей, в которых ИИН присутствуют; слагаемые эти пишутся со знаком плюс, если источники (ИИТ и ИИН) направлены к k-тому узлу.

Пример 7

Рассчитать токи ветвей схемы рис.3.3. методом узловых потенциалов. Узел 3 полагаем опорным и заземляем, таким образом, составляется три уравнения..

Дано:

Е₁, В	Е₂, В	J, А	R₁, Ом	R₂, Ом	R₃, Ом	R₄, Ом	R₅, Ом
		0,2

Расчет:

1. Составление системы уравнений:

(3.4)

2. Составление таблицы.

Потенциал узла Уравнения	φ₁	φ₂	φ₃	Правая часть
	0,037	-0,02	-0,017	0,2
	-0,02	0,039	-0,013	-1,583
	-0,017	-0,013	0,043	1,25

3. Результаты расчета в MATCAD:

φ₁, В	φ₂, В	φ₄, В
-13.842	-44,285	10.29

4. Расчет токов ветвей:

I₁ = =0,61 А, I₂= = 0,38 А, I₃= = 0,4 А, I₄= = 0,145А I₅= = 0,568 А

Примечание. Незначительные различия в величине токов, рассчитанных разными методами, обусловлено ограничением разрядности при расчете коэффициентов уравнений.