Прямые равноточные измерения с многократными наблюдениями

Раздел 2. Обработка результатов измерений

Результаты многократных наблюдений, получаемые при прямых измерениях величины А, называются равноточными (равнорассеянными), если они являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Измерения проводятся одним наблюдателем в одинаковых условиях внешней среды и с помощью одного и того же средства измерения.

Предположим, что при многократном измерении интересующей нас величины получили n отдельных результатов наблюдений. Исключив систематическую погрешность из каждого наблюдения, получаем исправленный ряд значений х ₁, х ₂, …, х_n, математическим ожиданием которого является истинное значение измеряемой величины А. За действительное значение измеряемой величины принимаем среднее арифметическое .

При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе наблюдений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим значением . Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяется, по сравнению с нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности. В формуле (1.3) для оценки доверительных границ случайной погрешности это отражается введением коэффициента t_p вместо t. Коэффициент t_p распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится по таблице (табл. 2.1). Так, при числе наблюдений n = 10 и доверительной вероятности Р = 0.95 t_p равен 2.3 (требуемый коэффициент находится на пересечении столбца и строки, соответствующих этим значениям). Зная t_p, результат измерения с доверительной вероятностью Р можно записать в виде

.

Увеличение числа наблюдений позволяет получить более точную оценку истинного значения измеряемой величины.

Т а б л и ц а 2.1. Коэффициенты Стьюдента

n	P
0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.95	0.98	0.99	0.999
	1.00	1.38	2.0	3.1	6.3	12.7	31.8	63.7	636.6
	0.82	1.06	1.3	1.9	2.9	4.3	7.0	9.9	31.6
	0.77	0.98	1.3	1.6	2.4	3.2	4.5	5.8	12.9
	0.74	0.94	1.2	1.5	2.1	2.8	3.7	4.6	8.6
	0.73	0.92	1.2	1.4	2.0	2.6	3.4	4.0	6.9
	0.72	0.90	1.2	1.4	1.9	2.4	3.1	3.7	6.0
	0.71	0.90	1.1	1.4	1.9	2.4	3.0	3.5	5.4
	0.71	0.90	1.1	1.4	1.9	2.3	2.9	3.4	5.0
	0.70	0.88	1.1	1.4	1.8	2.3	2.8	3.3	4.8
	0.69	0.87	1.1	1.3	1.8	2.1	2.6	3.0	4.1
	0.69	0.86	1.1	1.3	1.7	2.1	2.6	2.9	4.0
	0.69	0.86	1.1	1.3	1.7	2.1	2.5	2.9	3.9

 

При обработке результатов измерения с многократными наблюдениями надо учитывать, что результаты наблюдений x_i могут содержать систематическую погрешность, в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности.

Обработка результатов наблюдений производится в следующей последовательности.

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений (введением поправки).

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

.

3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдения:

.

Вычислив оценку СКО результата наблюдений, целесообразно проверить наличие в группе наблюдений грубых погрешностей, помня, что при нормальном законе распределения ни одна случайная погрешность (x_i ), с вероятностью практически равной единице, не может выйти за пределы 3s. Наблюдения, содержащие грубые погрешности, исключают из группы и заново повторяют вычисления и s.

4. Вычислить оценку СКО результата измерения:

.

5. Вычислить доверительные границы Δ случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности Р

,

где t_p – коэффициент Стьюдента.

6. Записать результат измерения в регламентированной стандартом форме:

Δ; Р.

При записи чисел и Δ используются следующие правила округления результатов и погрешностей измерений.

1) Число, выражающее результат измерения , должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и предельное значение погрешности измерения Δ. При этом лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются. Например, число 1123 (любых единиц измерения) при погрешности измерения 50 (тех же единиц) округляют до 1120, а число 1.123 при погрешности 0,05 – до 1.12.

Если десятичная дробь оканчивается нулями, то отбрасываются не все нули. Например, для числа 1.1 при той же погрешности 0.05 следует записать 1.10.

2) Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр в числе, выражающем , меньше 5, то остающиеся цифры не изменяют; если она больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу.

3) Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная, и увеличивают, если она нечетная. Например, число 22.5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 22, а число 23.5 – до 24.

4) Число, выражающее предельное значение погрешности измерения, должно содержать не более двух цифр.

 

Косвенные измерения

При косвенных измерениях измеряемая величина А является функцией от х ₁, х ₂, …., х_m, т. е. A = f (х ₁, х ₂, …., х_m). Для простоты считают, что значения x_i распределены по нормальному закону, измерения равноточные, погрешности измерения х ₁, х ₂, …., х_m не коррелированы (если погрешность не вызвана каким-либо общим фактором, изменяющимся случайным образом, например температурой).

Очевидно, что абсолютные погрешности измеряемой величины Δ А являются функцией погрешности прямых измерений:

Δ А = F (Δ x ₁, Δ x ₂, …, Δ x_m).

В простейшем случае для одной переменной A = f (x) в результате измерений получим

A + Δ А = f (x + Δ x).

Разложим правую часть в ряд Тейлора и сохраним члены разложения, содержащие Δ x в первой степени:

A + Δ А = f (x) + Δ x.

Отсюда абсолютная Δ А и относительная δ _A погрешности

.

В общем случае для функции A = f (х ₁, х ₂, …., х_m) абсолютную погрешность результата косвенных измерений определяют как сумму случайных погрешностей:

. (2.1)

Относительная погрешность:

. (2.2)

Если число опытов при измерении каждой из величин x_i принять равным n, то измеряемая величина – функция средних арифметических :

.

В формулы (2.1), (2.2) вместо x_i подставляют .

В табл. 2.2 приведены оценки абсолютных и относительных погрешностей измерений для наиболее часто встречающихся функций.

 

Т а б л и ц а 2.2. Оценки абсолютных и относительных погрешностей

при косвенных измерениях

Функция вида A = f (х)	Погрешности
Абсолютная Δ А	Относительная δ = Δ А / А
Сх		Δ x / x
xn	nx (n -1) Δ x	n Δ x / x
	/ n x	Δ x / n x
ex/C	Δ x ex/C / C	Δ x / C
ln x	Δ x / x	Δ x / (ln x) x
x / (1 x)	Δ x / (1 )2	Δ x / x (1 x)
sin (x / C)	cos (x / C) Δ x / C	ctg (x / C) Δ x / C
cos (x / C)	sin (x / C) Δ x / C	tg (x / C) Δ x / C
Bx 1 Cx 2
x 1 x 2
x 1 / x 2

 

Примечание. С, В – постоянные величины.