Лекция 1
1. Матрицы. Алгебраические операции с матрицами
Определение 1. Матрицей A размерности s 
n называется прямоугольная таблица из s 
n чисел, состоящая из s строк и n столбцов.
Здесь: 
- элемент матрицы,
i – номер строки,
j – номер столбца.
Обозначения матриц:
Пример. 
- матрица порядка 2 
3;
Типы матриц:
1. 
квадратная матрица;
2. 
нуль-матрица;
3. 
; A – диагональная матрица; 
элементы главной диагонали;
4. 
единичная матрица;
5. 
;
верхняя треугольная матрица;
6. ;
нижняя треугольная матрица;
Пример.
1. 
- единичная матрица первого порядка;
2. 
- диагональная матрица;
3. 
- верхняя треугольная матрица;
Определение 2. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность s n 
и выполнено условие 
, 
. Тогда матрицы А и В называются равными матрицами.
Обозначение: А=В.
Определение 3. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность s n . Суммой матриц А и В называется матрица С размерности s n
такая, что 
Обозначение: С=А+В.
Определение 4. Произведением матрицы А порядка s n 
на вещественное число 
называется матрица С той же размерности 
.
Обозначение: C= A
Пример.
Свойства линейных операций над матрицами
1.А+В=В+А;
2.(А+В)+С=А+(В+С);
3. 
4. 
5. 
Определение 5. Разностью матриц А и В порядка s n называется матрица С порядка s n такая, что А= В+С.
Обозначение: С=А-В
Определение 6. Произведением матриц А и В порядка s n и n p соответственно называется матрица С порядка s p такая, что
Обозначение: С=АВ
Замечание. Вообще говоря, 
. Матрицы А и В, произведение которых обладает свойством АВ=ВА, называются коммутирующими. Например, единичная матрица Е коммутирует со всеми квадратными матрицами соответствующей размерности: АЕ=ЕА=А.
Примеры.
1.
1  1
|
| 1 3
|
;
| 3 1
|
2.
| 2 2
|
| 2 2
|
| 2 2
|
;
;
;
;
.
Определение 7. Матрица В порядка s n 
называется транспонированной матрицей А порядка n s 
, если выполнено 
Переход от матрицы А к транспонированной матрице называется транспонированием.
Обозначение: 
Замечание. При транспонировании матрицы А столбцы матрицы А становятся строками матрицы 
с теми же номерами.
Пример. 
.
2. Перестановки и подстановки. Понятия инверсии и четности
Обозначим М={1,2,…,n} – множество первых n натуральных чисел.
Определение 1. Перестановкой n -го порядка называется упорядоченная последовательность элементов множества М, взятых без пропусков и повторений: 
где 
элемент множества М, 
Пример. Пусть n =3 => M = {1,2,3}.
Запишем все возможные перестановки 3-го порядка:
Отсюда получим, что существует 6 различных перестановок 3-го порядка. Справедливо следующее утверждение:
Утверждение. Cуществует n! различных перестановок n -го порядка.
Определение 2. Элементы 
и 
перестановки образуют беспорядок (инверсию) в перестановке, если 
но при этом 
.
Число инверсий в перестановке обозначим N
Пример. Найдем число инверсий в перестановке (4 3 1 2). Выпишем пары элементов образующих инверсии: 
Отсюда N (4312)=5.
Определение 3. Взаимная перестановка элементов , (не обязательно соседних) называется их транспозицией (при этом остальные элементы фиксированы).
Определение 4. Перестановка (
) называется четной (нечетной), если число N () является четным (нечетным).
Утверждение. Любая транспозиция элементов меняет четность перестановки.
Доказательство. Справедливость утверждения очевидна для транспозиции соседних элементов. Рассмотрим случай транспозиции несоседних элементов. Такую транспозицию можно выполнить, произведя 2s+1 транспозицию соседних элементов. Четность перестановки меняется нечетное число раз, следовательно, окончательно четность изменится.
▲
Определение 5. Подстановкой n -го порядка называется взаимно однозначное отображение множества M ={ 1,2,…,n } самого в себя.
Подстановку n -ого порядка запишем в виде
p = 
.
Эту запись понимаем так: элемент 
переходит в 
переходит в 
. Существует несколько записей одной и той же подстановки.
Определение 6. Пусть N(p) = N (
) + N (). Подстановка p называется четной (нечетной), если N(p) – четное (нечетное) число.
Замечание. Все записи одной и той же подстановки имеют одинаковую четность. Действительно, различные записи подстановки отличаются порядком столбцов. Перестановка двух столбцов состоит из двух транспозиций элементов верхней и нижней строк, при этом четности верхней и нижней перестановок изменятся, следовательно, окончательно четность подстановки не изменится.
Пример. Определим четность постановки p = 
.
Переставим столбцы в подстановке так, чтобы верхняя перестановка имела натуральный порядок (при этом четность перестановки не изменится):
p = 
N (
)= N (1 2 3 4) + N (4 3 2 1)= 0+ 6 = 6 = N(p).
Подстановка p является четной.
