, (3.6)
. (3.7)
Из условий (3.6), (3.7) получаем равенство:
. (3.8)
После замены 
её значением получим окончательно:
. (3.9)
При построении доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии предполагалось, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение. В практических задачах заранее неизвестно какое распределение имеет генеральная совокупность. Тем не менее, можно проверить гипотезу о принадлежности генеральной совокупности (точнее значений её количественного признака) к тому или иному распределению. Рассмотрим критерий согласия Пирсона ( -критерий) – часто применяемый, но далеко не единственный способ проверки нормальности генеральной совокупности по выборке. Прежде всего, согласно этой процедуре по выборке составляют вариационный ряд с некоторой фиксированной длиной интервала 
. Если в некотором интервале частота 
мала (
), то этот интервал объединяют с соседним. По гипотетическому распределению можно рассчитать теоретические частоты 
, где 
– номер интервала, а 
в случае нормального распределения можно рассчитать по формуле:
. (3.10)
В формуле (3.10) 
, а 
– левый конец -го интервала. Чтобы количественно оценить согласованность теоретических 
и эмпирических частот используют величину 
(статистику гипотезы), рассчитываемую по формуле:
. (3.11)
В формуле (3.11) 
означает общее количество интервалов вариационного ряда. Случайная величина имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы 
. Далее с помощью уровня значимости 
(эту величину обычно выбирают равной 0,05; 0,01; 0,001) и числа степеней свободы 
по таблице 4 выбирают границу 
критической области
. (3.12)
В том случае, если рассчитанное по формуле (3.11) значение входит в критическую область 
– гипотезу о нормальности генеральной совокупности отвергают. В противном случае гипотеза принимается.
Задача №4
Провести исследование некоторой генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.
1) По формулам (3.1), (3.2) дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.
2) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для 
и 
, принять 
(формулы (3.5), (3.9)).
3) Построить вариационный ряд и гистограмму (шаг указан в варианте).
4) При уровне значимости =0,001 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона (формула (3.11)).
Вариант 1
Выборка объёма 
, начало первого интервала 
, шаг 
.
Вариант 2
Выборка объёма 
, начало первого интервала 
, шаг .
Вариант 3
Выборка объёма 
, начало первого интервала 
, шаг 
.
| –29 | –22 | –16 | –20 | –16 | –18 | –28 | –20 | –32 | –22 | –23 | –26 | –10 | –25 | –25 |
| –29 | –29 | –19 | –12 | –26 | –18 | –20 | –9 | –24 | –20 | –19 | –26 | –23 | –11 | –26 |
| –30 | –23 | –30 | –18 | –20 | –13 | –17 | –24 | –28 | –26 | –21 | –21 | –26 | –24 | –36 |
| –23 | –24 | –25 | –20 | –23 | –17 | –11 | –22 | –19 | –19 | –25 | –29 | –23 | –16 | –25 |
| –15 | –18 | –17 | –19 | –21 | –12 | –24 | –30 | –33 | –22 | –15 | –18 | –26 | –22 | –19 |
| –25 | –23 | –21 | –22 | –22 | –25 | –16 | –25 | –19 | –17 | –30 | –13 | –25 | –19 | –24 |
| –17 | –24 | –16 | –23 | –15 | –22 | –22 | –19 | –20 | –19 | –33 | –14 | –17 | –21 | –16 |
| –24 | –13 | –20 | –19 | –17 | –13 | –27 | –25 | –25 | –19 | –22 | –22 | –22 | –23 | –9 |
| –11 | –22 | –24 | –18 | –19 | –18 | –31 | –16 | –18 | –24 | –14 | –23 | –26 | –25 | –19 |
| –23 | –24 | –21 | –26 | –25 | –18 | –16 | –30 | –16 | –24 | –13 | –14 | –18 | –22 | –22 |
| –28 | –18 | –21 | –27 | –31 | –23 | –23 | –27 | –21 | –21 | –22 | –34 | –24 | –20 | –24 |
| –21 | –32 | –16 | –18 | –15 | –22 | –15 | –15 | –22 | –18 |
Вариант 4
Выборка объёма 
, начало первого интервала 
, шаг 
.
Вариант 5
Выборка объёма 
, начало первого интервала 
, шаг .
| –14 | –1 | –4 | –17 | –22 | ||||||||||
| –9 | –8 | –5 | ||||||||||||
| –21 | –20 | –17 | –21 | –2 | ||||||||||
| –6 | –2 | –1 | ||||||||||||
| –8 | –13 | |||||||||||||
| –1 | –10 | –7 | –5 | –2 | –10 | |||||||||
| –5 | –12 | –2 | –20 | –4 | –2 | |||||||||
| –11 | –7 | –20 | –2 | –12 | –3 | –7 | –9 | |||||||
| –8 | –12 | –22 | –9 | –7 | –9 | |||||||||
| –10 | –8 | –4 | ||||||||||||
| –16 | –8 | –1 | –5 | –5 | ||||||||||
| –2 | –6 | –2 | –3 | |||||||||||
| –16 | –22 | –7 | –4 | –9 | –2 | |||||||||
| –16 | –9 | –8 | –2 | |||||||||||
| –7 | –14 | –5 | ||||||||||||
| –2 |
Вариант 6
Выборка объёма 
, начало первого интервала 
, шаг 
.
Вариант 7
Выборка объёма 
, начало первого интервала 
, шаг 
.
Вариант 8
Выборка объёма 
, начало первого интервала 
, шаг 
.
