Сформулюємо для цього випадку одну з можливих теорем про усереднення.
Теорема 1: Нехай функції 
, 
і 
визначені і неперервні в області 
і нехай в області 
:
1) Функції X і F обмежені і задовольняють умові Ліпшица по x і по y;
2) розв'язок 
виродженої системи визначений в області 
, причому 
при 
і частинні похідні 
обмежені в 
і задовольняють умові Ліпшица по x і по c, а в 
3) в кожній точці області 
рівномірно відносно 
існує границя
а функція 
обмежена і задовольняє умові Ліпшица по x і по c;
4) розв'язок 
, 
частинно усередненої системи
Визначено для всіх 
і належить області з деякім околом.
Тоді для будь-яких 
можно знайти 
, таке що при 
на відрізку 
будуть виконуватись нерівності
Ця теорема не потребує спеціального доведення, оскільки є наслідком теореми доведеної раніше про частинне усереднення в системах стандартного вигляду.
Теорема про усереднення на нескінченому проміжку для даного випадку буде мати наступне формулювання.
Теорема2. Нехай виконуються всі умови попередньої теореми, і окрім цього нехай виконується:
1) рівномірно відносно , 
і існує границя
і функція обмежена;
2) розв'язок частинно усередненої системи (11) рівномірно асимптотично стійке відносно 
.
Тоді для будь-якого 
можна вказати , таке що при всіх 
для всіх будуть виконуватись нерівності
Відмітимо, що при обчисленні границі (10) можливі випадки, коли функція не буде залежати від c. Тоді перше рівняння частинно усередненої системи (11) буде мати вигляд
Згідно приведеним вище міркуванням, розв'язок 
системи (13) на відрізку буде якомога точно апроксимувати повільну змінну 
системи (1). Більш того системи (1) і (13) можна тепер розглядати незалежно від другого рівняння частинно усередненої системи (11) і безповесердьо встановити близькість розв'язків 
і 
систем (1) і (13).
Нарешті, ще раз підкреслимо, що методом варіації довільних сталих система (1) зі швидкими і повільними змінними зводиться до системи стандартного вигляду (5), усереднюючи котру, ми приходимо до висновку, що усереднення в системах зі швидкими і повільними змінними слід виконувати вздовж загального розв'язку (3) виродженої системи (2) згідно з формулою (6).
Зрозуміло, якщо для (1) початкові дані задані при 
і загальний розв'язок (3) записано в формі 
, то середнє слід обчислювати за формулою (6) виду
Асимптотичні розклади
Отже викладемо загальний прийом асимптотичного інтегрування системи (1). Ідея асимптотичного інтегрування полягає в тому, щоб в системі зі швидкими і повільними змінними замінити змінні таким чином, щоб в нових змінних швидкі рухи були відділені від повільних. Ця ідея розділення рухів широко використовувалась в працях Н.М. Крилова, Н.Н. Боголюбова.
Отже виконуємо заміну змінних в (1)
таким чином, щоб система (1) в нових змінних мала вигляд
тут функції 
, 
, k=1,2,3,… підлягають визначенню.
В системі (15) повільні змінні відокремлені від швидких, і перше рівняння цієї системи інтегрується незалежно від другого. Підставляючи (14) в (1) і враховуючи (15), знаходимо наступні рівняння для визначення незалежних функцій , :
тут 
відома функція, залежна від попередніх наближень до k-1 порядку; 
відома функція, залежна від попередніх наближень до k-1 порядку і від 
.
При k=1 система (16) має вигляд
Визначимо з цих рівнянь 
, 
Нехай
тоді
де 
- довільна функція. Це говорить про те,що побудова асимптотичного розкладу (14) не однозначно. Таке положення характерно для асимптотичних теорій.
Вибір функцій 
може бути виконано по різному. Будемо вважати, що 
Із другого рівняння (17) знаходимо
Аналогічним чином розглядається система (16) при k=2,3,… і т д.
Література
1. А.Н. Филатов. "Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений". Ташкент. Издательство "Фан" УССР, 1974г.
