Линейные СДУ, однородные (СЛОДУ) и неоднородные (СЛНДУ). Фундаменталь­ная матрица. Теорема о структуре общего решения СЛ0ДУ (СЛНДУ).

Нормальная система ДУ. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая. Задача Коши для нормальной СДУ. Метод исключе­ния для решения нормальной СДУ

. Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

(1.1)

где , – неизвестные функции от независимой переменной x, подлежащие определению; , – известные функции от , заданные и непрерывные в некоторой области. Число n называется порядком системы (1.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго порядка (n =2).

Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений

(1.2)

где и – заданные и непрерывные в некоторой области функции. Пара функции (y(x); z(x)), определенная на (a,b), имеющая непрерывные производные и удовлетворяющая на (a,b) обоим уравнениям системы (1.2), называется ее решением.

Задача нахождения решения (y(x); z(x)), удовлетворяющего начальным условиям , где – заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть дана система уравнений (1.2) и пусть в некоторой области D (x,y,z) функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y, z. Пусть точка . Тогда существует интервал (a,b) и определенные на нем непрерывно дифференцируемые функции y(x), z(x), удовлетворяющие системе (1.2) и начальным условиям , причем эти функции единственны.

§ 2. Метод исключения.

Продифференцируем, например, первое уравнение системы уравнений (1.2) по независимой переменной x

Вместо системы (1.2) запишем систему уравнений (2.1)

(2.1)

Из первого уравнения системы (2.1) следует, что . Подставим эту функцию во второе уравнение (2.1): . Итак, исключив из системы функцию z приходим к одному уравнению 2-го порядка, решая которое, получаем: . Теперь продифференцируем найденное выражение по x и подставим в функцию . И тем самым получим . В результате получим решение в виде:

(2.2)

Определение 1. Общим решением системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка является совокупность функций (2.2), непрерывно дифференцируемых на некотором интервале (a,b), которые при различных допустимых значениях произвольных постоянных удовлетворяют обоим уравнениям системы уравнений (1.2). При этом в области, в которой выполнены условия теоремы существования и единственности, можно получить решение любой задачи Коши.

Фазовая плоскость

Часто оказывается недостаточно простого утверждения об устойчивости или неустойчивости решения дифференциального уравнения, а требуется более тонкое изучение поведения системы с течением времени. При этом не требуется (или оказывается просто невозможным) отыскивать общее решение уравнения. Часть теории дифференциальных уравнений, посвященную этой проблеме, принято называть качественной теорией дифференциальных уравнений.

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений:

(1)

Для системы (1) пространство переменных есть фазовое пространство. В частности, если n=2, то фазовое пространство называют фазовой плоскостью. Положение в этом пространстве, которое занимает при фиксированном t точка - фазовая точка. Кривые в , которые описывают фазовые точки при изменении параметра t называются фазовыми траекториями. Под направлением на фазовой траектории подразумевают направление движения фазовой точки по траектории в сторону возрастания t. Картина, которую образуют фазовые траектории на плоскости c указанным на них направлением движения, носит название фазового портрета.

В системе (1), при условии, что правые части непрерывны и обладают непрерывными частными производными в своей области определения, возможны три типа фазовых траекторий: точка, замкнутая и незамкнутая кривая. Точкам соответствует положения равновесия системы. Замкнутая кривая изображает периодическое решение, а незамкнутая - непериодическое.

При n=2 обратимся к случаю, когда (1) есть линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(2)

Основная задача качественного исследования системы (2) состоит в том, чтобы выяснить качественную картину его фазового пространства. Характер поведения фазовых траекторий системы (2) на фазовой плоскости определяют корни и характеристического уравнения:

. (3)

Эти корни могут быть либо действительными, причем простыми или кратными, либо комплексно сопряженными. Возможны только рассматриваемые ниже случаи расположения фазовых траекторий системы в окрестности точки покоя.

 

Линейные СДУ, однородные (СЛОДУ) и неоднородные (СЛНДУ). Фундаменталь­ная матрица. Теорема о структуре общего решения СЛ0ДУ (СЛНДУ).

 

Матричная форма. Теорема о структуре общего решения

Рассмотрим Линейную Однородную Систему обыкновенных Дифференциальных Уравнений n -го порядка

Здесь

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой системы.

Если матрица A (x) неперерывна на [a, b], то общее решение системы Y' = A (x) Y имеет вид

Y (x) = Φ (x)· C ≡ C ₁· Y ₁(x) + C ₂· Y ₂(x) +... + C_n · Y _n (x),

где Φ (x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы, Y ₁(x), Y ₂(x),..., Y _n (x) — столбцы этой фундаментальной матрицы решений, C — произвольный постоянный вектор-столбец.

Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n -го порядка

Здесь

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.

Если матрица A (x) и вектор-функция b (x) непрерывны на [a, b], и пусть Φ (x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A (x) Y, то общее решение неоднородной системы Y' = A (x) Y + b (x) имеет вид:

где C — произвольный постоянный вектор-столбец, x ₀ — произвольная фиксированная точка из отрезка [ a, b ].

Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ — формулу Коши.

Решением задачи Коши Y' = A (x) Y + b (x), Y (x ₀) = Y ₀ является вектор-функция

Рассмотрим однородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n -го порядка с постоянными коэффициентами:

Справедлива следующая теорема о фундаментальной матрице решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод Эйлера).

Пусть матрица A имеет n различных собственных значений λ₁≠λ₂≠...≠λ _n ≠ и пусть e ₁, e ₂,..., e _n — соответствующие собственные векторы:

Тогда фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений n -го порядка с постоянными коэффициентами Y '= A · Y имеет вид:

Заметим, что общее решение неоднородной системы с постоянными коэффициентами в этом случае можно записать в виде: