Семинар 1 по теме Векторная алгебра.

Понятие геометрического вектора

Линейные операции над геометрическими векторами.

Скалярное произведение векторов

Векторное и смешанное произведения

ПОНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ВЕКТОРА

Основные объекты евклидовой геометрии: точки, прямые, плоскости. Пара различных точек и задает отрезок, обозначаемый или . Точки и называют концами отрезка . Если точка считается начальной, а точка - конечной, то эти точки задают направленный отрезок, обозначаемый . Такой отрезок изображается стрелкой в направлении от к .

В случае = считают, что задан нулевой направленный отрезок. Направленные отрезки иначе называют (геометрическими) векторами. Векторы , , иногда обозначаются и т. д. Нулевой вектор обозначается . Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка . Длина вектора обозначается: . Длина (или модуль) нулевого вектора считается равной нулю: .

Два вектора

называют равными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, одинаково направлены и имеют равные модули:

Отложить вектор от точки – это значит построить вектор с началом в точке , равный вектору . От любой точки можно отложить, и притом только один вектор, равный данному. Для любых точек и считают, что . Нулевой вектор направления не имеет.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ВЕКТОРАМИ

Сумма ненулевых векторов и определяется по «правилу треугольника»: сначала от произвольной точки откладывают вектор , затем от точки откладывают вектор , и полагают

(1)

Это правило имеет смысл и в том случае, когда векторы и лежат на одной прямой. По определению считают, что

для любого вектора . Таким образом, формула (1) верна для любых точек , , (в частности, может быть ).

Разностью векторов и называется такой вектор , что . Для построения разности ненулевых векторов и от одной и той же точки откладывают векторы и , тогда .

Вектор (), противоположный вектору , есть по определению вектор, имеющий тот же модуль, что и вектор и направленный в сторону, противоположную . Если , то полагают . Из определений следует, что для любых векторов и .

Свойства операции сложения:

1 °. (коммутативность).

2 °. (ассоциативность).

3 °. .

4 °. .

Свойства 3° и 4° следуют непосредственно из определений, а свойства 1° и 2° иллюстрируют рисунки:

Доказательство свойства 1°:

Доказательство свойства 2°:

Замечания.

1. При доказательстве свойства 1° установлено, что векторы и , не лежащие на одной прямой, можно складывать по «правилу параллелограмма» (это согласуется с известным из физики правилом сложения сил, скоростей и других векторных величин).

2. Сумма любого конечного числа векторов находится по «правилу многоугольника», например:

Произведением вектора на число называется вектор, модуль которого равен , и который направлен так же, как вектор , если и противоположно , если :

В случае, когда или считают .

Свойства операции умножения вектора на число:

5 °. .

6 °. .

7 °. .

8 °. .

Обозначения:

– пространство (множество) геометрических векторов на прямой,

– пространство геометрических векторов на плоскости,

– пространство геометрических векторов в евклидовом трехмерном пространстве.

Задание к семинару.

Составить и заполнить таблицы – правая сторона – от руки!!!!

Понятие геометрического вектора
Определение
Обозначение
Линейные операции:
Свойства линейных операций	1. 2. …

Коллинеарные вектора
Компланарный вектора

Нелинейные операции над геометрическими векторами.
Понятие	Скалярное произведение	Векторное произведение	Смешанное произведение
Определение
Обозначение
Свойства
Критерии

Приложения к типовым задачам

Задачи.

1.1. По данным векторам и постройте векторы , , и .

1.2. По данным векторам и постройте векторы , , .

1.3. Пусть и - три некомпланарных вектора в пространстве . Докажите, аналогично примеру в лекции, что любой вектор может быть единственным образом представлен в виде , где и - некоторые числа.