Пусть доход изменяется на dM, тогда спрос изменится согласно формуле:
Уравнения для 
снова получим, дифференцируя по М соотношения (4.4) и (4.5):
(4.14)
или в матричной форме:
(4.15)
Поэтому
,
откуда имеем:
(4.16)
Объединяя (4.9), (4.13), (4.16), получим следующее уравнение Слуцкого, которое является сердцевиной теории полезности:
(4.17)
А поскольку изучается изменение спроса при росте цены на n -й товар, которая не компенсируется повышением дохода, то вторая составляющая в (4.17) (с отрицательным знаком) как раз и снимает искусственный прирост спроса, вызванный компенсирующим ростом дохода.
Для того чтобы воспользоваться уравнением Слуцкого, изучим свойства матрицы: 
Эта матрица симметрична, так симметричной является матрица U-1, а последняя симметричная вследствие симметричности матрицы U.
Матрица H отрицательно полу определена, что означает: zHz ¢ £ 0 для любого вектора-строки z.
Рассмотрим случай, когда z = a p, a ¹ 0, тогда
где 
).
Пусть теперь направление z не совпадает с направлением p (т.е. z ¹ a p любого a), тогда z можно представить в виде:
z = a p + v, v = z – a p,
где 
(это число), n ¹ 0.
Такое представление z дает: 
а потому 
поскольку U-1 отрицательно определена.
Если взять за z вектор z = (0, …, 1, 0, …, 0), т.е. вектор-строку, все элементы которого, кроме i- го, равны нулю, а i- й элемент равен 1, то zHz ¢ = hii < 0, т.е. все диагональные элементы матрицы Н отрицательны. Поэтому
(4.18)
Итак, даже при компенсированном росте цены товара спрос на этот товар все же уменьшается.
Товар i называют ценным, если с ростом дохода спрос на него растет 
, малоценным – если 
.
Поскольку в соответствии с (4.14)
(4.19)
то ценные товары обязательно существуют.
Спрос на ценный товар убывает при росте цены на него, это непосредственно следует из уравнения Слуцкого для (i -го) товара:
В соответствии с (4.11)
поэтому обязательно найдется такой товар l, для которого 
То есть уменьшение спроса на i -й товар 
приводит к росту спроса на l –й товар. Такие товары называют взаимозаменяемыми, например, животные жиры и растительное масло.
Если же 
, то товары i и т образуют взаимодополняющую пару (компенсированный рост цены на бензин вызывает спад спроса как на бензин, так и на автомобили).
Продукт l называют валовым заменителем продукта i, если
Функция спроса 
имеет свойство валовой заменимости, если с ростом цены на любой продукт i спрос на остальные продукты не снижается:
Если же 
, то функция спроса имеет свойство сильного валового замещения. Можно доказать, что функция спроса, порождена функцией полезности
обладает свойствами сильного валового замещения.
Эффекты замещения и дохода при повышении (снижении) цены на один из товаров иллюстрируют рис. 4.1 и 4.2 соответственно.
Рис. 4.1. Эффект замещения и эффект дохода при повышении цены
Рис. 4.2. Эффект замещения и эффект дохода при снижении цены
Эффект дохода заключается в изменении потребления вследствие изменения реального дохода, возникшего из-за изменения цен.
Эффект замещения заключается в изменении потребления вследствие изменения относительных цен.
