14. Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости.
Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой.
15. Всякая задача, в условии или в процессе решения которой встречается численная характеристика, называется метрической задачей.
1ОМЗ - задача на перпендикулярность прямой и плоскости.
1ОМЗ имеет две возможные постановки:
- построить прямую линию, проходящую через данную точку перпендикулярно заданной плоскости;
- построить плоскость, проходящую через данную точку перпендикулярно заданной прямой.
16. Признак перпендикулярности прямой и плоскости для КЧ:
- для первой постановки: чтобы построить прямую l, перпендикулярную плоскости Г, в плоскости Г строят горизонталь h и фронталь f и проводят l1┴h1 и l2┴f2;
- для второй постановки: плоскость Г, перпендикулярную прямой l1 задают горизонталью h и фронталью f, проводя h1┴l1 и f2┴l2 .
17. 2ОМЗ- задача на определение натурального вида отрезка прямой или расстояния между двумя точками
2ОМЗ решается по правилу прямоугольного треугольника.
Правило прямоугольного треугольника: длина отрезка равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника, одним из катетов которого яв-ся проекция отрезка ПП, а вторым – разность расстояний концов отрезка до этой ПП.
18. Правило прямоугольного треугольника: длина отрезка равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника, одним из катетов которого яв-ся проекция отрезка ПП, а вторым – разность расстояний концов отрезка до этой ПП.
19. Главные линии плоскости- горизонталь, фронталь, линия ската.
Горизонталь проецируется на П2 в прямую параллельную оси, а на П1 в прямую общего положения.
Фронталь проецируется на П1 в прямую параллельную оси, а на П2 в прямую общего положения.
Линия ската- линия перпендикулярная горизонтали.
20. Решение любой задачи с применением преобразования чертежа в конечном итоге сводится к решению 4 задач или их комбинации. Эти задачи называют основными задачами преобразования чертежа.
1ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ, в результате которого прямая общего положения стала бы прямой уровня.
2ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ, при котором прямая уровня становится проецирующей прямой..
3ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ, при котором плоскость общего положения становится проецирующей..
4ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ, при котором проецирующая плоскость становится плоскостью уровня.
- Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.
Алгоритм: 1. nÉМ, n^∑
2. К=n∩∑
3. | M,K |
29. ГМТ удаленных от одной точки- сфера с центром в данной точке и радиусом равным указанному расстоянию.
ГМТ удаленных от прямой- цилиндрическая поверхность вращения осью которой яв-ся данная прямая, а радиусом- указанное расстояние.
ГМТ удаленных от плоскости- плоскость параллельная данной плоскости и удаленная от нее на указанное расстояние.
- ГМТ равноудаленных от сторон треугольника- это прямя проходящая через центр вписанной окружности.
ГМТ Равноудаленных от вершин треугольника- прямая проходящая через центр окружности описанной около треугольника.
34. Угол между прямой а и плоскостью ∑ измеряется линейчатым углом φ между прямой а и ее проекцией а ∑ на плоскость ∑.
- Угол между плоскостями ∑ и Г измеряется углом φ между прямыми q =∑∩Ω и g =Г∩Ω, где Ω плоскость ^∑ и Г.
39. Прямую, параллельную П1, называют горизонтальной прямой и обозначают h; прямую, параллельную П2, называют фронтальной прямой и обозначают f.
40. Кинематический способ образования поверхности – это движение в пространстве линии, перемещающейся по какому-либо закону.
Линия, перемещающаяся в пространстве и образующая при этом поверхность, называется образующей поверхности, а законом ее перемещения – законом образования поверхности.
Направляющая линия – линия, которую пересекают все образующие.
Совокупность ГО, задание которых позволяет реализовать закон образования поверхности, называется определителем поверхности.
41. Проанализируем структуру формулы на примере формулы Ф{ l (k,T)(l i∩k; li ÉT)} конической поверхности общего вида. Перед формулой пишется прописная буква греческого алфавита (Ф) обозначающая поверхность; после первой фигурной скобки строчной буквой латинского алфавита записывают образующую поверхности (l); в первой паре скобок перечисляются элементы определителя поверхности (k и T); во второй паре скобок приводится закон образования поверхности (l i∩k; l iÉT).
42. Критерий заданности поверхности: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно ответить на вопрос о принадлежности точки поверхности и имеется возможность построить любую точку поверхности.
ОПЗ – задача на принадлежность точки поверхности.
Условие принадлежности точки поверхности: чтобы задать точку на поверхности, следует сначала задать на поверхности линию, а затем на линии взять любую точку.
43. Элементарный чертеж поверхности – это самый простейший чертежповерхности, на котором может быть решена любая позиционная и метическая задача, с ней связанная.
Основным чертежом поверхности называют элементарный чертеж поверхности, дополненный изображениями контурных линий.
44. К контурным линиям поверхности относят линии видимости данной поверхности; линии обреза поверхности; ребра многогранных поверхностей; линии пересечения поверхностей и т.д.
Крайние контурные лини – контурные линии или их части, все точки которых обладают следующим свойством: проецирующая прямая, проведенная через точку линии, не имеет больше общих точек с поверхностью на всем своем протяжении (искл. – конкурирующие контурные линии, принадлежащие проецирующей поверхности).
Проекцию крайних контурных линий называют очерком поверхности.
45. Линейчатые поверхности строятся с помощью образующих прямых.
46. Ф{ l (a, T)(l i∩a, l iÉT)}.
Если а – кривая линия, то это формула собственно конической поверхности; если а – ломаная линия, то это формула пирамидальной поверхности.
47. Ф{ l (a, l)(l i∩a, l i║ l)}
Если а – кривая линия, не лежащая в одной плоскости с l, то это формула цилиндричекой поверхности; если а – ломаная линия, не лежащая в одной плоскости с l, или прямая линия, то это формула призматической поверхности или плоскости соответственно.
48. Линейчатыми поверхностями с плоскостью параллелизма называют поверхности, у которых образующие пересекают две направляющие линии и, при этом, остаются параллельными некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма.
Ф{ l (a,b,∑)(li∩ a, l i∩b, l i ║∑)}
Если а и b – скрещивающиеся прямые, то поверхности называют гмпербалическим параболоидом или косой плоскостью; если одна из направляющих а и b - прямая линия, а вторая - кривая, то поверхность называют коноидом; если обе направляющие а и b – кривые линии, то поверхность называют цилиндроидом.
51. Формула линейчатой поверхности с тремя направляющими:
Ф{ l (a,b,d)(li∩ a, l i∩b, l i∩d)}.
52. Винтовой называют поверхность, образованную таким перемещением образующей, когда хотя бы одна точка ее совершает винтовое движение.
Формула геликоида:
Ф{t(j,k,φ)(ti∩k, ti∩j; | ti ^ j |= φ)}
Если угол φ наклона образующей к оси равен 90, то геликоид называют прямым, а если φ≠90, то наклонным.
53. Циклическими поверхностями называют поверхности, которые могут быть образованы перемещением окружности переменного или постоянного радиуса.
Циклические поверхности с тремя направляющими и плоскостью параллелизма:
Ф{m(b,d,q,∑)(mi∩ b, mi∩d, mi∩q, miÉ∑i║∑)}
Каналовые поверхности:
Ф{m(b,d)(mi∩b, miÉ∑i ^ d, Cmi É d)}
54. Все поверхности вращения имеют единый закон образования, согласно которому поверхность вращения есть результат вращения образующей линии вокруг неподвижной оси. Поэтому для всех поверхностей вращения может быть записана общая формула:
Ф{b(b,j)(bi = bOj)}.
При вращение линии вокруг оси каждая ее точка вращается вокруг оси по окружностям называемым параллелями.
Параллель наименьшего радиуса называется горлом, а наибольшего – экватором.
Линии поверхности лежащие в плоскости проходящей через ось вращения называются меридианами.
55. Формула линейчатых поверхностей вращения имеет вид:
Ф{t(t,j)(ti = tOj)}, где t – прямая линия. Если t∩j, то это формула конической поверхности вращения, если t║j – цилиндрической поверхности вращения, если t скрещивается с j – однополостного гиперболоида вращения.
56. Торовые поверхности относятся к циклическим поверхностям, которые образуются путем вращения окружности или ее дуги.
1. Открытый тор Ф{m(m,j; m,jÌ∑)(mi = m O j)}- окружность m и j ось не имеют общей точки.
2. Закрытый тор с одной конической точкой Ф{m(m,j;m,jÌ∑; m È j)(mi = mOj)}- окружность m касается с осью j.
3. Пересекающийся тор с двумя коническими точками Ф{m(m,j;m,jÌ∑; m∩j)(mi = m O j)}- окружность m пересекается с осью j.
57. Сфера образуется вращением полуокружности вокруг оси.
Формула: Ω{n(n,j; n∩j)(ni=nOj)}
61. Поверхность считается проецирующей, если она проецируется в линию. Это могут быть цилиндрические поверхности, цилиндрические поверхности вращения и призматические поверхности.
Проецирующая поверхность проецируется на ПП, которой перпендикулярны ее образующие, в линию, называемую основной проекцией этой поверхности.
62. Из множества позиционных задач выделяют две главные: 1ГПЗ – задача на пересечение линии и поверхности; 2ГПЗ – задача на пересечение двух поверхностей.
63. 1ГПЗ-1 и 2ГПЗ-1 решают по алгоритму: обе проекции точки пересечения (1ГПЗ) или линии пересечения (2ГПЗ) непосредственно заданы на чертеже; они принадлежат основным проекциям пересекающихся ГО; решение задачи сводится к простановке соответствующих обозначений.
64. Согласно алгоритму решения ГПЗ для 2-го случая известной яв-ся только одна проекция точки или линии пересечения, принадлежащая основной проекции проецирующего ГО, а вторая проекция точки или линии пересечения ищется из условия принадлежности их непроецирующему ГО.
65. ПА решения 1ГПЗ в случае, когда пересекаются непроецирующая линия q и поверхность Ф:
1. Линия q заключается во вспомогательную поверхность Y: YÉq
2. Строится линия g пересечения вспомогательной поверхности Y и заданной Ф: g = Y∩Ф.
3. Искомая точка К есть точка пересечения построенной линии g и заданной q: K = g∩q.
- ПА построения линии k пересечения двух непроецирующих поверхностей:
1. Задается вспомогательная секущая поверхность Yi.
2. Строятся линии пересечения gi = Yi∩Ф и еi = Yi∩Ω.
3. Находятся точка КiÌ k: Ki = gi∩ei.
71. Теорема Монжа: порядок поверхности определяется максимально возможным числом точек пересечения поверхности прямой линией.
79. Поверхности вращения, имеющие общую ось вращения, называются соосными поверхностями.
Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям- параллелям.
72. Частным случаем пересечения соосных поверхностей вращения яв-ся случай, когда центр сферы расположен на оси какой-то поверхности вращения, в результате чего сфера становится сосной с этой поверхностью вращения и пересекает ее по окружностям. Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения лежит в основе способа секущих концентрическмх сфер. (сфер, имеющих общий центр)
- Линия пересечения двух циклических поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии, в которой расположены линии их центров, может быть построена способом эксцентрических секущих сфер (Сфер, проведенных из различных центров).
- При пересечении конической поверхности 2-го порядка плоскостью получится эллипс.
