Определение 4. Числовая последовательность называется бесконечно малой величиной, если она имеет предел, равный 0.
Для бесконечно малых величин используются обозначение б. м.
Пусть заданы числовые последовательности 
и 
. Числовая последовательность с общим членом 
, 
называется суммой этих числовых последовательностей. Числовая последовательность с общим членом 
, называется суммой этих числовых последовательностей. Числовая последовательность с общим членом 
, называется суммой этих числовых последовательностей.
Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
Доказательство. Достаточно доказать утверждение для суммы двух б. м. Пусть числовые последовательности и являются бесконечно малыми величинами, т. е. пределы этих последовательностей равны 0. Данный факт означает следующее. Если задано произвольное, скроль угодно малое положительное число 
, то для числа 
и числовой последовательности существует номер 
, обладающий тем свойством, что при 
выполнено соотношение 
. По той же причине для этого же числа и числовой последовательности существует номер 
, обладающий тем свойством, что при 
выполнено соотношение 
. Возьмем число 
, тогда при 
справедливы соотношения 
. Итак, для произвольного 
мы нашли номер 
, такой что при выполнено 
. Следовательно, предел последовательности , равен 0, и она является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.
Теорема 4. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.
Доказательство. Пусть числовая последовательность является бесконечно малой величиной, а числовая последовательность является ограниченной величиной. Это означает что, с одной стороны, 
, с другой стороны, существует число 
такое, что для каждого выполнено условие 
. Пусть теперь задано произвольное, скроль угодно малое положительное число . Рассмотрим числа 
, для него в числовой последовательности существует номер , обладающий тем свойством, что при выполнено соотношение 
. При этом будет выполнено условие 
, что и означает, что произведение этих двух величин – бесконечно малой и ограниченной есть величина бесконечно малая. Теорема доказана.
Свойства пределов
А как конкретно происходит вычисление пределов, в данном случае числовых последовательностей? Мы стараемся представить величину, предел которой надо найти, в виде суммы, разности, произведения, частного более простых величин, предел которых легко найти. Для обоснования такого подхода надо сформулировать и доказать свойства пределов.
Теорема 5. Числовая последовательность имеет предел, равный 
тогда и только тогда, когда последовательность 
, является бесконечно малой величиной.
Доказательство. Пусть 
, т.е. при для каждого при 
выполнено неравенство 
(
). Но это неравенство равносильно тому, что 
, т. е. последовательность 
, имеет предел 0, т.е. является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.
Теорема 6. (Свойства пределов) Пусть , 
, тогда 
, 
, 
, а если, кроме того, 
, 
, то 
.
Доказательство. Докажем в условиях теоремы формулу , т. е. мы докажем, что предел суммы последовательностей равен сумме их пределов, если каждый из пределов существует. Так как , то 
, где 
- б. м. Аналогично 
, где 
- б. м. Отсюда следует, что 
. В последней скобке сумма двух бесконечно малых величин есть величина б. м. Поэтому 
представляется в виде суммы 
и бесконечно малой величины 
. В силу теоремы 5 это означает, что . Первое утверждение теоремы доказана. Формула доказывается совершенно аналогично. Рассмотрим теперь формулу и используем для преобразования левой части те же обозначения. Поэтому 
…
