Раздел 2. Математический анализ

Предел функции. Первый и второй замечательный пределы.

 

Изучив данную тему студент должен:

знать основные понятия:

- предел функции в точке;

- действия с бесконечностями;

- неопределенные выражения;

- бесконечно малая функция;

- предел функции на бесконечности;

- бесконечно большая функция;

уметь:

- вычислять предел функции, пользуясь основными теоремами о пределах;

- устанавливать вид неопределенного выражения;

- раскрывать неопределенные выражения вида ;

- распознавать и раскрывать неопределенности вида , , , применяя замечательные пределы или следствия из них.

Справочный материал.

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функций сходится к числу А. .

Основные теоремы о пределах

1. Если С – постоянная величина, то .

2. Если С – постоянная величина то .

3. Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов: .

4. Предел произведения равен произведению пределов:

5. Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля: .

Теорема о первом замечательном пределе

Предел функции в точке существует и равен единице: .

Следствие

Теорема о втором замечательном пределе

Предел функции при существует и равен : .

Следствия: , , .

Примеры решения задач

Задача 1. Найти предел .

Решение.

= .

Задача 2. Найти предел .

Решение.

.

Задача 3. Найти предел .

Решение.

.

Задача 4. Найти предел .

Решение.

Подставив , получим неопределенность вида . Для решения разложим знаменатель дроби на множители, сократим общий множитель, после чего подставим предельное значение : .

 

Задача 5. Найти предел .

Решение.

Это неопределенность . Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , т.е. на : .

 

Задача 6. Найти предел .

Решение.

Неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю:

 

Задача 7. Найти предел .

Решение.

Преобразуем данную дробь, чтобы в знаменателе был аргумент синуса. Для этого числитель и знаменатель на 5. =

 

Задача 8. Найти предел .

Решение.

Проведем замену переменной . При , получаем:

.

Дифференциал функции. Производные функций. Методы и правила дифференцирования сложных функций.

 

Изучив данную тему студент должен:

знать основные понятия:

- определение производной функции в точке;

- определение производной на множестве;

- дифференциал функции;

- дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций;

- дифференцирование сложной функции.

- алгоритм логарифмического дифференцирования.

уметь:

- вычислять производные с использованием правил дифференцирования и таблицы производных;

- вычислять производные высших порядков.

Справочный материал.

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке . . Обозначается (, ).

Таблица производных

1. ;	6. ;	11. ;
2. ;	7. ;	12. ;
3. ;	8. ;	13. ;
4. ;	9. ;	14.
5. ;	10. ;

Правила дифференцирования

1. ; 2. ; 3. .

Определение 2. Производная от функции называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции называется производной второго порядка от функции и обозначается . Аналогично определяют производную третьего порядка . Производная го порядка обозначается .

Определение 3. Дифференциал функции в точке - это главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента . Обозначается . Дифференциал независимой переменной ч равен ее приращению . Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал аргумента.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти производную функции

Решение.

Применим правило дифференцирования алгебраической суммы функций.

Задача 2. Найти производную функции

Решение.

Применим правило дифференцирования произведения двух функций.

.

Задача 3. Найти производную функции

Решение.

Используя следствие 2 дифференцирования произведения нескольких функций, получим

Задача 4. Найти производную функции

Решение.

Применим формулу производной частного двух функций

Задача 5. Найти производную .

Решение.

Рассмотрим , где , то есть .

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Табличное интегрирование. Интегрирование по частям. Замена переменных.

 

Изучив данную тему студент должен:

знать основные понятия:

- первообразная для функции f (x) на интервале (а; b);

- неопределенный интеграл;

- подынтегральная функция;

- интегрируемая функция;

- интегрирование;

- непосредственное интегрирование.

уметь:

- узнавать и использовать табличные интегралы;

- приводить интегралы к табличным, пользуясь линейными свойствами;

- проверять дифференцированием результат интегрирования;

- устанавливать подходящий метод интегрирования для данного интеграла;

- подбирать подстановку при использовании метода замены переменной;

- правильно выбирать , при использовании метода интегрирования по частям.

Справочный материал.

Определение 1. Первообразная функция для функции называется такая функция , что имеет место равенство .Любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для данной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается , если . При этом называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

1. , .

2.

3. - постоянная

4.

5. Если , то и

Таблица основных интегралов

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. .

Пусть функции и определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

 

Примеры решения задач

Задача 1. Найти .

Решение.

Разобьем интеграл на суммы интегралов от слагаемых функции. В первом и втором интеграле постоянный множитель вынесем за знак интеграла. По первой и второй формулам таблицы интегралов найдем: =

= = .

Задача 2. Найти

Решение.

Разделим почленно числитель на знаменатель, в результате получим сумму и разность трех степенных функций, каждую из которых проинтегрируем:

= = .

Задача 3. Найти . Результат проверить дифференцированием.

Решение.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Затем разобьем полученный интеграл на сумму двух интегралов. Сократим в первом интеграле , во втором - . = = + =

= .

Проверка: ()'= =

Задача 4. Найти .

Решение.

Данный интеграл станет табличным, если по знаком дифференциала будет аргумент подынтегральной функции 11х. Так как , то для создания необходимого дифференциала нужно ввести уравнивающий постоянный множитель , который можно записать перед интегралом. Получим табличный интеграл, в котором 11х – переменная интегрирования.

= .

Задача 5. Найти . Результат интегрирования проверить дифференцированием.

Решение.

Из выражения, стоящего в числителе, можно создать дифференциал знаменателя. Тогда получим табличный интеграл, где - переменная интегрирования.

= =

Проверка: .

Задача 6. Найти .

Решение.

Введем подстановку Интеграл примет следующий вид .

= = = = .

Задача 7. Найти .

Решение.

Разобьем подынтегральное выражение на и : , . По формуле интегрирования по частям получаем: = = .