Сведем исходные данные варианта * в удобную для построения математической модели таблицу 2.
Таблица 2.
| Ресурсы | Продукция | Объем ресурсов | Пn+1 | ||
| П1 | П2 | П3 | |||
| I | 0,5 | ||||
| ІІ | |||||
| ІІІ | |||||
| Цена реализации единицы продукции Пi | – |
1. Пусть Х=(х1, х2, х3) – план выпуска продукции соответственно П1, П2, П3. Z – сумма дохода от реализации готовой продукции. Тогда математическая модель задачи имеет вид.
Z = 3x1 + 4x2 + 5x3 –> max,
x1 + 2x2 + x3 ≤ 370,
3x1 + 2x3 ≤ 560,
x1 + 4x2 ≤ 420,
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3.
Решение задачи симплекс-методом, аналогичное полученному Вами в 1-й части работы, приведено в таблице 3. Для получения решения Вашего варианта (одного из 10-ти, предложенных в таблице 1) можно также использовать SimplexWin.exe с ограничениями – неравенствами.
Поскольку все оценки (m +1)-ой строки последней симплекс-таблицы 3 неотрицательные, отысканный опорный план является оптимальным. Х*=(0, 45, 280, 0, 0, 240), Z(Х*)=1580.
Основные переменные х*1=0, х*2=45, х*3=280 показывают, что продукцию П1 производить нецелесообразно; продукции П2 нужно произвести 45 единиц, П3 – 280 единиц. При этом, подставляя в ограничения, видим, что первый и второй ресурсы используются полностью, а третьего остается в избытке 240 единиц.
Таблица 3
2. Двойственная к данной задача имеет вид:
Т(l)= 370λ1 + 560λ2 + 420l3 –> min,
λ1 + 3λ2 + λ3 ≥ 3,
2λ1 + 4λ3 ≥ 4,
λ1 + 2λ2 ≥ 5,
λi ≥ 0, i = 1,2,3.
Ее решение отыщем в последней строке симплексной таблицы 3 из соотношения
Имеем оптимальные λ*=(2, 3/2, 0), Т(λ*)=1580.
Двойственные переменные показывают меру дефицитности ресурсов, они численно равняются изменению целевой функции при изменении соответствующего ресурса на единицу, следовательно, увеличение первого ресурса на единицу дает увеличение объема реализации на λ*1 = 2, второго – на λ*2 = 3/2. Третий ресурс является избыточным, поэтому его увеличение ни к чему не приведет (λ*3 = 0).
Подставив вектор двойственных оценок λ* в систему ограничений двойственной задачи, имеем
1 · 2 + 3 · 3/2 + 1 · 0 = 11/2 > 3,
2 · 2 + 4 · 0 = 4 = 4,
1 · 2 + 2 · 3/2 = 5 = 5.
Первое ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство – это свидетельствует об убыточности продукции П1, поэтому, согласно с оптимальным планом, ее нецелесообразно производить. Стоимость ресурсов, которые тратятся на единицу продукции П1, превышает стоимость единицы этой продукции на 7/2. Стоимость ресурсов, которые используются при производстве единицы продукции П2 и П3 совпадает с их ценами, поэтому их выпуск экономически целесообразен.
Раскроем состав двойственных переменных, например,
λ*1 = С б· P 3+1 – c4 = 1/2 · 4 + 0·5 + (-2) · 0 = 2 (см. 3-й и 8-ой столбцы последней из симплекс-таблиц 3).
Это означает, что при увеличении первого ресурса на единицу выпуск продукции П2 увеличится на 1/2, выпуск продукции П3 не изменится, избыток третьего ресурса уменьшится на –2.
Аналогично можно раскрыть состав других двойственных переменных.
3. Коэффициенты взаимозаменяемости ηik показывают, сколько единиц ресурса i необходимо дополнительно иметь, чтобы компенсировать уменьшение ресурса k на единицу, то есть, чтобы значение целевой функции не изменилось:
.
Построим матрицу взаимозаменяемости (таблица 4).
Таблица 4.
| λ*i | λ*κ | ||
| λ*1=2 | λ*2=3/2 | λ*3=0 | |
| λ*1 | 3/4 | ||
| λ*2 | 4/3 | ||
| λ*3 | ∞ | ∞ |
Например, η21=4/3 означает, что уменьшение первого ресурса на единицу можно компенсировать 4/3 единицами второго ресурса и т.д.; η31=∞ означает, что уменьшение первого ресурса на единицу нельзя компенсировать никакими увеличениями третьего ресурса; η13=0 означает, что, поскольку третий ресурс избыточен, его уменьшение на единицу ничем компенсировать не нужно.
4. Для определения границ изменения стоимости – коэффициентов целевой функции, при которых сохранится ассортимент и объем произведенной продукции, рассмотрим два случая:
а) анализ коэффициентов целевой функции при базисных переменных можно провести по соотношениям (здесь первые m переменных – оптимальный базис):
.
Решение его дает возможность получить искомые вариации, при которых сохранится предыдущий оптимальный базис. Из таблицы 3 имеем систему линейных неравенств
1/4·∆С2-3/2·∆С3-2·∆С6≤7/2,
-1/2·∆С2 +2·∆С6 ≤ 2,
1/4·∆С2-1/2·∆С3 - ∆С6 ≤ 3/2.
Отсюда, если ∆С3=∆С6=0, то
-4≤∆С2≤6,
и коэффициент С2 может оставаться в промежутке 0≤С2≤10, при этом найденный план остается оптимальным.
Если же ∆С2=∆С6=0, тогда
-7/3≤ ∆С3≤∞,
а коэффициент С3 может оставаться в промежутке 8/3≤С3≤∞.
Поскольку х6 свободная дополнительная переменная, то коэффициент при ней в целевой функции С6=0, поэтому вариации ∆С6 всегда равняются 0.
б) Анализ коэффициентов целевой функции при небазисных переменных проводится по соотношениям
.
Для рассматриваемой задачи, поскольку С4 и С5 - коэффициенты при свободных дополнительных переменных, то их вариации равняются 0. Поэтому определяем только промежуток изменения коэффициента С1, для которого, -∞≤∆С1≤7/2. Следовательно, 0≤С1≤13/2 потому, что цены на продукцию не могут быть отрицательными.
5. Определим границы изменения ресурсов, в которых структура оптимального плана сохранится, то есть выпуск продукции П2 и П3 остается рентабельным (т.е. все x*базисные ³0). Для этого нужно проанализировать соотношения:
.
Вычитая, получим: 
.
Матрица Рх-1 обратна к Рх. Последняя состоит из вектор-столбцов Р2, Р3, Р6 нового (оптимального) базиса, записанного в старом(исходном) базисе непосредственно из начальной СТ таблицы 3. Таким образом, Рх-1 есть матрица перехода к новому базису, и ее элементы без вычисления могут быть взяты из столбцов векторов Р4, Р5, Р6, которые составляли начальный базис, записанных в новом базисе, т.е. из конечной СТ таблицы 3. Поэтому:
.
Отсюда
-2∆b1+∆b2 ≤180,
-∆b2 ≤560,
2∆b1- ∆b2-∆b3 ≤ 240.
Если ∆b2=∆b3=0, то –90≤∆b1≤120, а 280≤b1≤490. Дальше, если ∆b1=∆b3=0, то –240≤∆b2≤180, а 320≤b2≤740. Аналогично, для ∆b3 имеем –240≤∆b3≤∞, а 180≤b3≤∞. Следовательно, если один из ресурсов изменяется в определенных выше промежутках, а остальные остаются неизменными, то оптимальный базис исходной задачи сохранится, а значит оптимальный план двойственной задачи не изменяется (сохранится устойчивость двойственных оценок, поскольку в формуле λ*i = С б· P m+i – cm+i нет зависимости от b).
6. Рассмотрим рентабельность выпуска новой продукции, характеристики которой приведены в таблице 2: Сn+1=3, аi,n+1=(0,5; 1; 2). Обозначив ее объем через хn+1, имеем такую новую математическую модель задачи
Z=3x1+4x2+5x3+3xn+1 –> max,
x1+2x2+x3+0,5xn+1≤370,
3x1 +2x3 + xn+1 ≤ 560,
x1+4x2 +2xn+1≤420,
xj≥0, j=1,2,3; xn+1≥0.
Дополним последнюю СТ столбцом Рn+1 и вычислим оценку ∆n+1 по формуле
Тогда 
0,5 · 2 + 1·3/2 + 2 · 0 – 3 = –1/2≤0.
Поскольку оценка отрицательна, то выпуск дополнительной продукции является целесообразным. Вычислим компоненты вектора Pn+1 в базисе P2, P3, P6, который был оптимальным:
.
Прибавим соответствующий вектор столбцов, ассоциируемый с переменной хn+1 к последней симплекс-таблицы в таблице 3 и получим новую таблицу 5. Выполнив только один шаг симплекс-метода, находим новый оптимальный план. Для контроля заново проведите (с помощью simplexWin) полное решение новой задачи из пункта 6. Сравните результаты.
Таблица 5
| I | Б | С | Х | |||||||
| Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | Р6 | Рn+1 | ||||
| Р2 | -1/4 | 1/2 | -1/4 | |||||||
| Р3 | 3/2 | 1/2 | 1/2 | |||||||
| Р6 | -2 | |||||||||
| m+1 | 7/2 | 3/2 | -1/2 | |||||||
| Р2 | -1/4 | 1/2 | -1/4 | |||||||
| Р3 | 1/2 | 1/4 | -1/4 | |||||||
| Рn+1 | -1 | 1/2 | ½ | |||||||
| m+1 | 3/2 | 7/4 | ¼ |
Следовательно, Х*=(0, 45, 280, 0, 0, 0, 120), Z(Х*)=1640. Вместе с этим найдем и решение соответствующей двойственной задачи λ*=(3/2, 7/4, 1/4), Т(λ*)=1640.
7. Пусть недефицитный ресурс уменьшится на N = 60%. Тогда новый вектор ресурсов приобретет вид b =(370, 560, 168). Вычислим компоненты плана по формуле. 
Имеем 
Поскольку новое решение недопустимое, то осуществив один шаг двойственного симплекс-метода, получим новый план. На основе таблицы 3 имеем таблицу 6.
Таблица 6
| I | Б | С | Х | ||||||
| Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | Р6 | ||||
| Р2 | -1/4 | 1/2 | -1/4 | ||||||
| Р3 | 3/2 | 1/2 | |||||||
| Р6 | -12 | -2 | |||||||
| m+1 | 7/2 | 3/2 | |||||||
| Р2 | 1/4 | 1/4 | |||||||
| Р3 | 3/2 | 1/2 | |||||||
| Р4 | -1 | -1/2 | -1/2 | ||||||
| m+1 | 11/4 | 5/2 |
Следовательно, новый план Х*=(0, 42, 280), Z(Х*)=1568. Оптимальное решение двойственной задачи λ*=(0, 5/2, 1), Т(λ*)=1568.
Данный пример является шаблоном для заполнения отчета по Вашему варианту.
