Задача заключается в определении оптимальной (по минимуму суммарных затрат) схемы электроснабжения потребителей: от каких подстанций и какую мощность нужно передавать к каждому потребителю. На стадии проектирования электрических сетей известны мощности потребителей, возможности источников питания (подстанций), расстояния от подстанций до потребителей.
Постановка задачи: с достаточной точностью можно принять, что мощность, передаваемая по электрическим сетям, пропорциональным токам с коэффициентом 
.
Математическая модель задачи:
где Iij - ток, потребляемый j -м потребителем с i -ой подстанции; Ij – суммарный ток j -го потребителя; Ii - суммарный ток i -ой подстанции.
Поставленную задачу можно свести к транспортной.
Как правило, номинальный ток подстанции больше суммы токов потребителей, питающихся с данной подстанции:
.
Следовательно, имеет место открытая модель транспортной задачи. Для приведения к закрытой модели следует ввести фиктивный пункт потребления с необходимым током и нулевым расстоянием от пункта питания.
В качестве критерия оптимальности следует принять минимум затрат на сооружение и эксплуатацию электрической сети
З пр = С э+ Е н K,
где С э – З g I 2 R t10-3 – стоимость потерь электроэнергии в проводах ЛЭП, руб/год;
g - отпускная цена кВт*ч электроэнергии, руб.;
I – ток в фазе ЛЭП, А;
R = r l / q – сопротивление фазы участка ЛЭП, Ом;
r - удельное сопротивление материала провода, Ом;
l – длина участка, км;
t - количество часов в году;
K = (a + bq) l – капитальные вложения, руб.;
a, b – расчетные коэффициенты;
q – сечение проводов ЛЭП, мм2;
E н – банковский процент за кредит капитала K.
Если выбор проводов ЛЭП выполнять по экономической плотности тока iэ, А/мм2, то
I = i э q.
Тогда
,
где a = З g iэ r t- постоянный коэффициент.
Затраты для участка длиной l равны
.
где 
.
Целевая функция для участков
.
Для достижения экстремального значения целевой функции достаточно минимизировать её первое слагаемое, причем коэффициент b можно не учитывать
.
Задача сведена к транспортной и может быть решена по стандартной программе.
Пример. В районе электрических сетей строятся четыре новых потребителя электроэнергии В1, В2, В3, В4, питание которых может быть подано от трех подстанций (п/ст) П1, П2, П3. Расчетные мощности и ток потребителей при заданном напряжении сети, расстояние от подстанций до потребителей, резервная мощность, которой располагают подстанции, приведены в таблице.
| Подстанции | Потребители, расстояние от подстанции до потребителя, км | Имеющийся резерв мощности, кВт ч (А) | |||
| В1 | В2 | В3 | В4 | ||
| П1 | 3,5 | 1560 (90) | |||
| П2 | 1040 (60) | ||||
| П3 | 8,5 | 1040 (60) | |||
| Потребляемая мощность, кВт ч | |||||
| Подстанции, А |
Математическую модель задачи можно представить так:
| Подстанции | Потребители | I i | ||||
| В1 | В2 | B3 | В4 | |||
| П1 | 3,5 | |||||
| I11 | I12 | I13 | I14 | I15 | ||
| П2 | ||||||
| I11 | I12 | I13 | I14 | I25 | ||
| П3 | 8,5 | |||||
| I11 | I12 | I13 | I14 | I35 | ||
| I j |
Фиктивный пункт потребления В5 с током 51 А и нулевыми расстояниями от центров питания введен, чтобы получить равенство
A.
и свести задачу к закрытой модели.
Решение транспортной задачи в Excel:
На листе Excel строим три таблицы. В первой таблице учитываются расстояния от подстанции до потребителя (км). Во второй таблице будет учитывать токи в электрических сетях (А). Третья таблица – итоговая.
| Решение задачи Оптимизации схемы электроснабжения | ||||||||||||
| Расстояния от подстанций до потребителя | ||||||||||||
| Подстанции | Потребители, расстояние от подстанции до потребителя, км | Имеющийся резерв мощности, кВт ч | ||||||||||
| В1 | В2 | В3 | В4 | |||||||||
| П1 | 3,5 | |||||||||||
| П2 | ||||||||||||
| П3 | 8,5 | |||||||||||
| Потребляемая мощность, кВт ч | ||||||||||||
| Строим таблицу с учетом тока в электрических сетях и фиктивным потребителем (закрытая модель ТЗ) | ||||||||||||
| Подстанции | Pасстояние от подстанции до потребителя, км | I i | ||||||||||
| В1 | В2 | В3 | В4 | B5 | ||||||||
| П1 | 3,5 | |||||||||||
| П2 | ||||||||||||
| П3 | 8,5 | |||||||||||
| I j | ||||||||||||
| Итоговая таблица с учетом тока в электрических сетях и фиктивным потребителем (закрытая модель ТЗ) | ||||||||||||
| Подстанции | Потребители | I i | ||||||||||
| В1 | В2 | В3 | В4 | B5 | ||||||||
| П1 | ||||||||||||
| П2 | ||||||||||||
| П3 | ||||||||||||
| I j | ||||||||||||
| Целевая функция | ||||||||||||
| Zmin= | 292,5 | |||||||||||
Таблица с учетом тока в электрических сетях и итоговая таблица с указанием действий в ячейках
Прикладная математика
Задание № 2
