Критерий устойчивости Михайлова

ЛЕКЦИЯ 8.

Частотные методы исследования устойчивости.

Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней характеристического полинома D (s) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. графиком функции D (jw) при изменении w от 0 до ¥.

К частотным методом анализа устойчивости относятся критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Критерий устойчивости Михайлова

Это графический критерий. Он предложен в 1938 г. советским ученым А.В. Михайловым и тоже основан на рассмотрении полинома D (s). Подставим в этот полином вместо s мнимую переменную jω. В результате получим комплексную функцию

.

Здесь - действительная часть, полученная из членов D (s), содержащих четные степени s, а - мнимая часть, полученная из членов D (s) с нечетными степенями s.

Изобразим D (jω) в виде годографа в комплексной плоскости (кривые 1-5 на рис. 7.4). Эти годографы называются годографами Михайлова.

 

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента полинома D(jw) при изменении частоты w от 0 до ¥ равнялось бы n·π/2

Другими словами, система устойчива, если годограф характеристического полинома D(jw) (кривая Михайлова), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения системы.

На рис. 7.4 годограф 1 относится к устойчивой, а годографы 3, 4 и 5 – к неустойчивым системам.

Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (штриховая кривая 2 на рис. 7.4).

Действительно, в этом случае существует значение ω, при котором D (jω) = 0, т.е. характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных мнимых корней . Последнее и означает наличие в системе незатухающих колебаний, т.е. нахождение ее на границе устойчивости. Незначительное изменение параметров системы, в результате чего годограф D (jω) на рис. 7.4 отойдет влево или вниз от начала координат, делает систему устойчивой, а изменение параметров в другую сторону – неустойчивой.

При практическом построении годографа D (jω) прежде всего находят точки его пересечения с координатными осями. Для этого, определив из уравнения

значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа D (jω) с мнимой осью, подставляют их в выражение . В результате получают соответствующие ординаты. Аналогично находят точки пересечения D (jω) с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть и подставляя затем найденные при этом значения ω в выражение для .

Собственно, после того как найдены значения ω, при которых годограф D (jω) пересекает оси координат, т.е. найдены нули и , для суждения об устойчивости системы нет необходимости строить сам годограф. Из формулировки критерия Михайлова следует, что устойчивость имеет место, если нули и чередуются с ростом ω, начиная с ω = 0, когда = 0, а > 0.