Лекция №17
Определение 17.1. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно любые три точки М 
, М 
, М 
, лежащие на одной прямой, переводит в три точки М` , М` , М` , также лежащие на одной прямой, при этом сохраняя простое отношение трех точек.
Преобразование подобия является аффинным преобразованием.
Лемма 17.2. Если аффинные преобразования f и f переводят две точки 
и 
соответственно в точки 
, то образы точки М при этих преобразованиях совпадают, где 
- любая точка прямой АВ.
Доказательство:
1) Пусть М - произвольная точка прямой AB, отличная от точек A и В, а 
, 
. Докажем, что 
.
2) Так как f и f - аффинные преобразования, то сохраняются простые отношения точек, т.е. 
3) Значит, 
или точка 
совпадает с точкой 
.
Теорема 17.3. Пусть даны два репера 
и R`(A`,B`,C`). Тогда существует единственное аффинное преобразование, переводящее R в R ` такое, что любая точка М (x, у) репера R переходит в точку M`(x, y) репера R`.
Доказательство:
1.Покажем, что существует аффинное преобразование f, переводящее R в R `:
o Построим отображение f таким образом, что произвольной точке М 
(x, y) поставим в соответствие точку М` 
(x, y). Такое отображение взаимно однозначно, а значит, оно является преобразованием.
o Покажем, что f – аффинное преобразование.
Пусть М , М , М принадлежат реперу R, причем: 
, 
, 
Имеем, что простые отношения точек в различных реперах равны, значит f – аффинное преобразование.
2.Докажем единственность.
o Пусть существует аффинное преобразование f , переводящее R в R`.
Пусть М – произвольная точка плоскости. Через точку М проведем прямую так, чтобы она пересекала какие-нибудь две из прямых AB, ВС, АС в различных точках N и P. По лемме 17.2 получаем f(N) = f (N), f(P) = f (P). Отсюда, используя лемму 17.2, имеем: f(M) = f (M).
o Таким образом, отображения f и f совпадают, т.е. f – единственное аффинное преобразование.
Следствие 17.4. Если точки А, B, C не лежат на одной прямой и являются неподвижными точками аффинного преобразования, то такие точки тождественны.
Свойства аффинного преобразования:
o Аналогичны свойствам движения (без флага).
o Любое аффинное преобразование либо сохраняет, либо меняет ориентацию плоскости.
Аналитические выражения аффинного преобразования
Исходя из формул преобразования аффинной системы координат, имеем: 
Если определитель системы 
> 0, то реперы R и R `, рассматриваемые при аффинном преобразовании, одинаково ориентированы и аффинное преобразование является преобразованием первого рода. В противном случае, реперы противоположно ориентированы и аффинное преобразование есть преобразование второго рода.
Определение 17.5. Нетождественное аффинное преобразование называется перспективно – аффинным (родственным) преобразованием (родством), если оно имеет, по крайней мере, две неподвижные точки.
- аналитические выражения перспективно-аффинного преобразования
Свойства перспективно-аффинного преобразования:
1. Любая точка прямой, проходящей через две неподвижные точки перспективно-аффинного преобразования, является неподвижной;
2. Прямые, соединяющие соответственные точки родства, не лежащие на его оси, параллельны или совпадают;
3. Если прямая пересекает ось родства в некоторой точке, то ее образ проходит через эту точку;
4. Если прямая параллельна оси родства, то ее образ также параллелен оси.
