Граничные условия для полных напряжений

Лекция № 6 (24.10.16)

6. НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ МАССИВА В ОКРЕСТНОСТИ НЕЗАКРЕПЛЁННОЙ ВЫРАБОТКИ

 

6.1. Расчётная схема

Проходка выработки осуществляется в массиве, находящемся под действием гравитационных сил, т.е., в среде с установившимся начальным полем напряжений.

Применение упругой модели и принципа независимости действия сил позволяет учесть первоначальное напряжённое состояние, путём рассмотрения напряжения в массиве, ослабленного выработкой, как сумму начальных напряжений и дополнительных (снимаемых) напряжений.

Понятие снимаемых напряжений ввёл профессор Родин для моделирования образования выработки в напряжённом массиве.

 

Рис. 6.1 Схема для определения полных напряжений в весомом массиве как суммы начальных и дополнительных (снимаемых) напряжений

Начальному полю напряжений в массиве соответствует начальное поле перемещений и деформаций, которые произошли до начала проведения выработки. Следовательно, деформации и перемещения, происходящие в массиве вследствие образования выработки, вызываются только снимаемыми напряжениями.

 

Для определения напряжений в массиве, ослабленного выработкой круглого сечения используется решение плоской задачи упругости для полубесконечного весомого массива, ограниченного земной поверхностью L и ослабленного выработкой с контуром L₁.

 

 

Рис. 6.2.Схема для определения напряжений в массиве, моделируемым упругой средой, ослабленным выработкой круглого сечения

 

Искомые компоненты напряжений могут быть представлены в виде суммы

 

(6.1)

 

где - начальные напряжения, действовавшие в массиве до образования выработки,

 

где - дополнительные снимаемые напряжения, вызванные образованием выработки,

 

Компоненты полных и начальных напряжений удовлетворяют системе дифференциальных уравнений равновесия:

(6.2)

 

и условию совместности деформаций:

(6.3)

Компоненты дополнительных напряжений удовлетворяют, в отличие от полных напряжений однородной системе дифференциальных уравнений равновесия при том же уравнении совместности.

Граничные условия для полных напряжений

На поверхности L граничные условия определяются формулами:

s_x = 0 и t_xy=0 (6.4)

На контуре выработки L₁ имеют вид

 

s_x cos(n,x)+ t_xycos(n,y)=0 (6.5)

t_xycos(n,x)+ s_y cos(n,y) =0

 

Первые условия означают отсутствие касательных и нормальных напряжений на поверхности, вторые отсутствие напряжений на контуре выработки.

(n,x) и (n,y) углы между нормалью к контуру кругового выреза и осями х,у.

Граничные условия для начальных напряжений на поверхности L:

s_x = 0 и t_xy=0 (6.6)

В качестве частного решения неоднородной системы уравнений (6.2) можно взять поле начальных напряжений:

(6.7)