Логические операции над высказываниями.

 

Пусть А и В – произвольные высказывания. Рассмотрим основные операции, которые можно производить с данными высказываниями.

Отрицанием высказывания А называется новое высказывание истинное тогда и только тогда, когда высказывание А ложно. Отрицание высказывания А обозначается или ù А и читается как «не А» или «неверно, что А».

ù А=И А=Л

Операция отрицания полностью определяется следующей таблицей

А	ù А
И	Л
Л	И

истинности.

 

Конъюнкцией двух высказываний Аи В называется новое высказывание истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания Аи В истинны. Конъюнкция двух высказываний А и В обозначается А Ù В.

А Ù В=И А и В = И

Операция конъюнкции двух высказываний Аи В полностью определяется следующей таблицей истинности.

 

А	В	А Ù В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, истинное только в том случае, когда одно из высказываний А или В истинно. Дизъюнкция двух высказываний А и В обозначается А Ú В.

А Ú В =И А или В = И

Операция дизъюнкции двух высказываний Аи В полностью определяется следующей таблицей истинности.

А	В	А Ú В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

 

Импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание, ложное тогда и только тогда, когда А - истинно, В - ложно. Импликация двух высказываний А и В обозначается А®В.

А®В =Л А=И и В=Л

Операция импликации двух высказываний Аи В полностью определяется следующей таблицей истинности

А	В	А®В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

 

Эквивалентностью двух высказываний А и В называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А и В – истинны, либо А и В – ложны. Эквивалентность двух высказываний А и В обозначается А«В.

А«В =И А и В = И или А и В = Л

 

Операция эквивалентность двух высказываний Аи В полностью определяется следующей таблицей истинности

А	В	А«В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

 

 

Формулы логики высказываний.

 

Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки составляют алфавит логики высказываний. С помощью элементов алфавита можно построить разнообразные логические формулы.

Выражение, составленное из обозначения высказываний, скобок и связок называется логической формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям:

любая переменная, обозначающая высказывание – формула.

если А и В – формула, то А Ù В, А Ú В, А®В, А«В – формулы.

других формул нет.

Основной задачей логики высказываний является изучение логических форм сложных высказываний с помощью логических операций.

 

Законы логики.

 

Определение 1. Формула логики высказываний, которая принимает значение «истина» при любом распределении значений входящих в эту формулу переменных, называется тождественно истинной, тавтологией или законом логики.

Например: А Úù А, А® А, (А® В) Ú (В ® А).

Определение 2. Формула логики высказываний, которая принимает значение «ложь» при любом распределении значений входящих в эту формулу переменных, называется тождественно ложной или противоречием.

Например: А Ùù А, (А Úù А) ® (А Ùù А)

Существуют формулы, которые принимают значение «истина» или значение «ложь» в зависимости от того, какие значения принимают входящие в них переменные.

Теорема 1. Если А и А ® В – тавтологии, то и В – тавтология.

Доказательство. Пусть А и А ® В – тавтологии. Допустим, что для какого-либо набора распределения истинностных значений атомов, входящих в А и В, формула В принимает значение «ложь». Формула А «истина», т. к. по условию является тавтологией, но тогда формула А ® В на предполагаемом наборе примет значение «ложь». Что противоречит условию, т. к. А ® В тоже тавтология, т. е. на любом наборе должна принимать значение «истина». Следовательно, В принимает значение «истина» на любом наборе распределения атомов, а значит, является тавтологией. Что и требовалось доказать.