Свойства операций над множествами. Отношения.

Цель лабораторной работы состоит в освоении основных операций над множествами и умении оптимально использовать законы теории множеств при упрощении выражений и доказательстве справедливости отношений.

Задание лабораторной работы № 1 каждый студент выбирает из таблицы заданий в соответствии со своим вариантом.

Вариант:

Для двух данных в таблице выражений показать справедливость их выполнения, используя законы теории множеств и свойства отношения включения, доказать истинность данных отношений; для отношения включения показать, что левая часть включения содержится в правой.

Для выполнения лабораторной работы № 1 необходимо использовать следующий теоретический материал

Под множеством понимают, следуя основателю теории Г. Кантору, «многое, мыслимое как единое». Другими словами, множество есть совокупность определенных вполне различаемых объектов (субъектов), которые называются элементами, объединенных некоторым свойством. Множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита.

Над множествами можно совершать некоторые операции и задавать между множествами определенные отношения

Порядок выполнения операций в выражениях определяется следующим образом. Прежде всего выполняется операция дополнения множества до универсального множества 1. Затем выполняются последовательно слева направо действия, заданные в скобках. Пересечение считают теоретико-множественным умножением, а объединение – теоретико-множественным сложением. Поэтому сначала выполняют операцию пересечения и только после нее – объединения или разности. Пересечение и объединение рассматривают как умножение и сложение в силу того, что своими свойствами они напоминают эти арифметические операции. По этой же причине пустое множество Æ похоже на число 0, а универсальное множество 1 – на число 1.

Для выполнения лабораторной работы № 1 при доказательстве справедливости заданных отношений необходимо использовать следующие законы теории множеств, верные для любых множеств А, В, С.

1. A Ç B = B Ç A – закон коммутативности пересечения.

2. A È B = B È A – закон коммутативности объединения.

3. A Ç(B Ç C) = (A Ç B)Ç C – закон ассоциативности пересечения.

4. A È(B È C) = (A È B)È C – закон ассоциативности объединения.

5. A Ç(B È C) = (A Ç B)È(A Ç C)

– закон дистрибутивности

пересечения относительно объединения.

6. A È(B Ç C) = (A È B)Ç(A È C) – закон дистрибутивности

объединения относительно пересечения.

7. A Ç A = A – закон идемпотентности пересечения.

8. A È A = A – закон идемпотентности объединения.

9. A ÇÆ = Æ.