Порядок выполнения работ, пояснения к тексту задач

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

В курсах "Механика, теоретическая и прикладная механика студенты изучают теоретическую механику, сопротивление материалов, теорию механизмов и машин и детали машин. В настоящие методические указания входят задания по второй части курса.

Дается перечень вопросов, которые как основная часть курса должны изучаться студентами всех специальностей.

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

 

Основные понятия, задачи и методы сопротивления мате­риалов. Реальный объект и расчетная схема. Силы внешние и внутренние. Метод сечений. Перемещения, деформации и на­пряжения. Общие гипотезы сопротивления материалов. Прин­ципы расчета элементов конструкций на прочность.

 

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ

 

Продольная сила и определение внутренних сил и напря­жений в различных сечениях стержня. Удлинения стержня. За­кон Гука, коэффициент Пуассона. Условия прочности и жестко­сти. Экспериментальное изучение растяжения-сжатия. Диаграм­ма растяжения. Пределы пропорциональности, упругости, теку­чести, прочности.

 

СДВИГ И КРУЧЕНИЕ

 

Чистый сдвиг и его особенности. Закон Гука при сдвиге. Связь между упругими постоянными изотропного материала. Срез и смятие. Расчет заклепочных и сварных соединений. Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Полярный момент сопротивления. Угол закручивания и угол сдвига. Расчет валов на прочность и жесткость. Потенциальная энергия стержня при кручении. Особенности расчета валов с некруглым поперечным сечением.

 

ПЛОСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ

 

Чистый и поперечный изгиб. Внутренние силовые факто­ры: поперечная сила и изгибающий момент. Построение эпюр внутренних усилий при изгибе. Напряжения при чистом изгибе. Расчет на прочность при изгибе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., 1986 и по­следующие издания.

Улитин Н.С. Сопротивление материалов. М.,1969 и после­дующие издания.

Беляев Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. М., 1969 и последующие издания.

 

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ, ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ

Контрольное задание по сопротивлению материалов состоит из пяти задач.

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С1.4 - это рис. 4 к задаче СМ1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берет рис. 4 и условия № 6 из таблицы.

Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер работы, номера решаемых задач и год издания контрольных заданий.

Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради(на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать).

Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач чертеж получится более простой, чем общий.

Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, а его размеры должны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; показывать все эти векторы и координатные оси на чертеже, а также указывать единицы получаемых величин нужно обязательно. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т.п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштаба.

Следует также иметь в виду, что некоторые из заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи. Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к вашему варианту, т.е. к номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой "Указания"; затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.

 

Задача С1

Стальной стержень переменного сечения находится под действием двух продольных сил, приложенных по оси стержня (рис.1, табл.1).

Построить эпюры поперечных сил, напряжений и перемещений. Весом самого стержня пренебречь.

При расчете можно принимать: площадь сечения А=10 см², длина участков а=с=1м, b=2м, модуль упругости при растяжении для стали E = 2*10⁵ МПа, силы F₁ и F₂ направлены вниз, а F₃ и F₄ – вверх.

 

 

Рис. 1

 

 

Таблица 1

 

NN	F1	F2	F3	F4
	Величина, кН	Точка приложения	Величина, кН	Точка прило- жения	Величина, кН	Точка приложения	Величина, кН	Точка приложения
		М		Д	-	-	-	-
		Д	-	-		К	-	-
				М	-	-		К
		М	-	-		Д	-	-
				Д	-	-		М
						Д		М
				М	-	-		К
					-	-		Д
				Д		М	-	-
		М		К	-	-	-	-

 

. Пример С1. Стальной стержень находится под действием двух сил F₁=200кН и F₂=100кН (рис1.1).

Площадь сечения А=10 см², длина участков а=с=1м, b=2м, материал –сталь (E = 2*10⁵ МПа).

Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений. Весом самого стержня пренебречь.

 

 

 

Рис.1.1

 

Решение. 1. Рассматриваем равновесие каждого участка стержня

в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось: .

 

Участок МД: N₁-F₁=0, N₁=F₁=200 кН.

Участок ДК: N₂-F₁=0, N₂=F₁=200 кН.

Участок КН: N₃-F₁+F₂=0, N₁=F₁ – F₂=100 кН.

По этим данным строим эпюру продольных усилий (рис.1.1).

2.Находим напряжения.

 

Участок МД: кн/см².

Участок ДК: кн/см².

Участок КН: кн/см².

 

По этим данным строим эпюру напряжений (рис.1.1).

3.Определяем перемещения каждого характерного участка

 

,

 

где N – усилие на данном участке, L- длина участка, Е – модуль упругости, А- площадь сечения.

Расчеты производим в системе СИ, то есть 1кН=10³Н, 1МПа=10⁶Па, 1 см²=10^-4м².

Перемещение сечения К:

.

Перемещение сечения Д:

Перемещение сечения М

По этим данным строим эпюру перемещений (рис.1.1).

 

Задача С3

 

К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента (рис.3). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец - свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца. Данные – в таблице 3.

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

2. При заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность. Полученные значения округлить.

3. Построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала.

 

Таблица 3

 

Вариант	Моменты, кН*м	[t], МПа
	М1	М2	М3	М4
	5,1	2,1	1,1	0,1
	5,2	2,2	1,2	0,2
	5,3	2,3	1,3	0,3
	5,4	2,4	1,4	0,4
	5,5	2,5	1,5	0,5
	5,6	2,6	1,6	0,6
	5,7	2,7	1,7	0,7
	5,8	2,8	1,8	0,8
	5,9	2,9	1,9	0,9
	6,0	3,0	2,0	1,0

 

Рис.3

Пример С3. Для ступенчатого стержня, нагруженного четырьмя моментами (рис.3.1), построить эпюры крутящих моментов, а также определить диаметры стержня из условия прочности при кручении.

 

Рис.3.1

 

Данные: М₁ = 5,3 кН·м; М₂ = 2,3 кН·м;М₃ = 1,3 кН·м; М₄ = 0,3 кН·м; [t] = 35 МПа.

Решение. Для построения эпюры крутящих моментов по длине стержня воспользуемся следующим правилом знаков.

Если со стороны внешней нормали мы видим внешний крутящий момент направленным по движению часовой стрелки, то считаем, что он создает в сечении вала отрицательный крутящий момент.

Воспользуемся методом сечений, при этом сечения будем выбирать в направлении от свободного края, чтобы не определять реактивный момент в заделке стержня.

 

Сечение 1-1:

М_кр1=-М₄=-0,3кНм.

Сечение 2-2:

М_кр2=-М₄+М₃=-0,3+1,3=1кНм.

Сечение 3-3:

М_кр3=-М₄+М₃-М₂=-0,3+1,3-2,3=-1,3кНм.

Сечение 4-4:

М_кр4=-М₄+М₃-М₂+М₁=-0,3+1,3-2,3+5,3=4кНм.

 

По данным расчетов строим эпюру крутящих моментов (рис.3.1), из которой видно, что наиболее опасными являются сечения от заделки до момента М₁, где М_кр=4 кНм. Из условия прочности на этом участке находим диаметр d₁:

 

.

 

Так как полярный момент сопротивления круглого сечения

 

, то .

 

Подставляя значения, получаем

 

=0,0835 м.

 

Принимаем d₁=8,5см.

На участке с диаметром d₂ максимальный крутящий момент составляет 1 кНм, отсюда

=0,0526 м.

 

Округлив, можно принять d₂=5,5см.

 

 

Задача С4,а

 

Для заданной схемы балки (рис. 4,а) требуется написать выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти максимальный момент М_max и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при [s] = 160 МПа. Данные взять из табл. 4,а.

Рис.4,а

 

Таблица 4,а

 

Варианты	a, м	b, м	c, м	l, м	Изгибаю-щий момент М, кН*м	Сосредо-точенная сила F, кН
	2,0	3,2	1,8
	2,2	3,4	1,9
	2,4	3,6	2,0
	2,6	3,8	2,1
	2,8	4,0	2,2
	3,0	4,2	2,3
	3,2	4,4	2,4
	3,4	4,6	2,5
	3,6	4,8	2,6
	3,8	5,0	2,7

 

Пример С4,а. Для заданной схемы балки (рис. 4,1) требуется написать выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти максимальный момент М_max и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при [s] = 160 МПа, если L=10м, а=5м, b=2м, М=8 кНм, F=18 кН.

 

 

 

Рис.4.1

 

Решение. 1. Определяем опорные реакции. Так как горизонтальная нагрузка отсутствует, то опора А имеет только вертикальную реакцию R_A. Составляем уравнения равновесия в виде моментов всех сил относительно точек А и В.

 

 

 

откуда находим

 

, .

 

Для проверки составим уравнение равновесия на вертикальную ось:

 

 

2.Построение эпюр Q и М.

Воспользуемся правилом знаков. Если внешняя сила слева от сечения направлена вверх, то она создает положительную поперечную силу и изгибающий момент. Внешняя сила справа от сечения, направленная вниз создает положительную поперечную силу и отрицательный изгибающий момент.

Если внешний сосредоточенный момент слева от сечения направлен по часовой стрелке, то он создает положительный изгибающий момент. Внешний сосредоточенный момент справа от сечения, направленный против часовой стрелки, создает положительный изгибающий момент.

Рассмотрим первый участок: .

 

, ,

 

 

Рассмотрим второй участок: .

 

, ,

 

.

 

Рассмотрим третий участок (идем от правого края): .

 

, ,

 

 

По полученным значениям строим эпюры Q и М (рис.4.1).

После построения эпюр внутренних усилий контролируем их правильность.

На эпюре Q в месте приложения сосредоточенных сил наблюдаются скачки на величину и в направлении этих сил. На эпюре М в месте, где приложен сосредоточенный момент, имеет место скачок на величину и в направление этого момента. Там, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре моментов прямая меняет угол наклона.

3. Подбор сечения. По эпюре моментов определяем значение максимального изгибающего момента М_max=36кНм.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

 

,

 

откуда .

 

По сортаменту прокатной стали выбираем двутавр №22 с W_Z=232 cм³.